Graduierter Ring

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In der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie ist ein graduierter Ring eine Verallgemeinerung des Polynomrings in mehreren Veränderlichen. Er ist in der algebraischen Geometrie ein Mittel, projektive Varietäten zu beschreiben.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition[Bearbeiten]

Ein graduierter Ring A ist ein Ring, der eine Darstellung als direkte Summe von abelschen Gruppen hat:

A = \bigoplus_{n\in \mathbb N}A_n = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots

sodass A_i A_j \subseteq A_{i + j}.

Elemente von A_j werden homogene Elemente vom Grad j genannt. Jedes Element eines graduierten Ringes kann eindeutig als Summe von homogenen Elementen geschrieben werden.

Ein Ideal I wird homogen genannt, wenn:

I = \bigoplus_{n\in \mathbb N}(I \cap A_n)

Ist I ein Ideal des Ringes R, so kann der zum Ideal I assoziierte Ring \mathrm{gr}_I(R) gebildet werden:

\mathrm{gr}_I(R) = \bigoplus_{n\in \mathbb N}I^n/I^{n+1}

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ein Ideal ist genau dann homogen, wenn es von homogenen Elementen erzeugt werden kann.
  • Die Summe, das Produkt, der Schnitt und das Radikal homogener Ideale ist wieder homogen.
  • Ein homogenes Ideal I ist genau dann prim, wenn für alle homogenen f,g \in R gilt:
fg \in I \ \Leftrightarrow (f \in I \lor g \in I)
  • Ist R noethersch und I \subset R ein Ideal, dann ist auch \mathrm{gr}_I(R) noethersch.

Charakterisierung regulärer Ringe[Bearbeiten]

Ist R ein lokaler noetherscher Ring, m sein maximales Ideal, k=R/m und x_1, \dots x_n eine k-Basis des Vektorraums m/m^2, so sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) R ist regulär.
(2) Der durch
f \colon X_i \mapsto x_i
definierte Homomorphismus
f \colon k[X_1, \dots ,X_n] \to \mathrm{gr}_m(R)
ist ein Isomorphismus von graduierten k-Algebren.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Wenn K ein Körper ist, dann ist K[X_1, \dots K_n] auf natürliche Weise ein graduierter Ring.
  • Dieser Ring kann auch mit einer anderen Graduierung versehen werden:
Ist (i_1, \dots,i_n) \in \Bbb N^i, so ist A_k die Menge der quasihomogenen Polynome vom Grad k:
A_k:=\sum_{\alpha_1 i_1+, \dots, +\alpha_n i_n=k}s_{\alpha_1, \dots, \alpha_n}X^{i_1}\dots X^{i_n}

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]