Henselsches Lemma

Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen.

Formulierung

Es sei $K$ ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring $A$ und Restklassenkörper $k$. Ist nun $f\in A[X]$ ein Polynom, dessen Reduktion ${\bar {f}}\in k[X]$ das Produkt zweier teilerfremder Polynome ${\bar {g}},{\bar {h}}\in k[X]$ ist, so gibt es Polynome $g,h\in A[X]$, so dass $f=gh$ gilt und ${\bar {g}}$ bzw. ${\bar {h}}$ die Reduktion von $g$ bzw. $h$ ist.

Beispiele

• Mit dem henselschen Lemma kann man zeigen, dass der Körper der p-adischen Zahlen die $(p-1)$-ten Einheitswurzeln enthält:

Für eine Primzahl $p$ sei $K=\mathbb {Q} _{p}$ der Körper der $p$-adischen Zahlen, $A=\mathbb {Z} _{p}$ und $k=\mathbb {F} _{p}$. Das Polynom $f(X):=X^{p-1}-1$ zerfällt über $k$ in Linearfaktoren

${\bar {f}}(X)=X^{p-1}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})\cdots (X-{\overline {p-1}})$.

Es gibt also Polynome $g_{1},\ldots ,g_{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}[X]$, so dass

$f=g_{1}\cdots g_{p-1},\qquad g_{i}(X)\equiv X-i\mod p$

gilt. Die Polynome $g_{i}$ haben notwendigerweise die Form $g(X)=aX+b$ mit $a\in 1+p\mathbb {Z} _{p}$, man kann also $a=1$ annehmen, d. h. es gibt $\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}$, so dass

$X^{p-1}-1=(X-\zeta _{1})\cdots (X-\zeta _{p-1})$

gilt. Die $\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}$ sind die $(p-1)$-ten Einheitswurzeln und sie können immer so angeordnet werden, dass $\zeta _{i}\equiv i\mod p$.

• Ist die Primzahl $p\equiv 1\mod 4$, dann gibt es nach dem Obigen ein $\eta \in \mathbb {Q} _{p}$ mit $\eta ^{2}=-1$.

Denn unter den $(p-1)$-ten Einheitswurzeln gibt es eine, sie sei mit $\zeta$ bezeichnet, die die zyklische Gruppe der $(p-1)$-ten Einheitswurzeln erzeugt. Mit $\eta :=\zeta ^{\tfrac {p-1}{4}}$ ergibt sich $\eta ^{2}=-1$.

• Im Körper $\mathbb {Q} _{p}$ der p-adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht-triviale Summe von Quadraten darstellbar. Damit ist –1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar, und $\mathbb {Q} _{p}$ kann nicht angeordnet werden.

Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

1. $p>2$: Nach dem Vier-Quadrate-Satz gibt es 4 Summanden $n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\in \mathbb {N}$ mit $n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}+n_{4}^{2}=p$. Nun ist $n:=n_{4}^{2}-p$ ein quadratischer Rest $n_{4}^{2}\mod p$. Es gibt also ein $\mu \in \mathbb {F} _{p}$ mit $\mu ^{2}={\bar {n}}$ oder $(X-\mu )(X+\mu )=X^{2}-{\bar {n}}$ und teilerfremden $(X-\mu ),(X+\mu )$. Nach dem henselschen Lemma gibt es ein $m\in \mathbb {Z} _{p}$ mit $m^{2}=n=n_{4}^{2}-p$, so dass die Summe von 4 nicht verschwindenden Quadraten $n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}+m^{2}=0$ ist.
2. $p=2$: Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome über $\mathbb {F} _{2}$ das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar. Es lässt sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen, dass ${\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} _{2}$. Sei nämlich $m_{3}:=1\in \mathbb {Z}$ mit $m_{3}^{2}\equiv -7\;\mod 2^{3}$. Für $i=3,4,...$ sei nun $m_{i}\in \mathbb {Z}$ derart, dass $m_{i}^{2}\equiv -7\mod 2^{i}$. Da $m_{i}^{2}+7$ durch 2 teilbar ist, können wir
       $m_{i+1}:\equiv m_{i}-{\tfrac {m_{i}^{2}+7}{2m_{i}}}\mod 2^{i+1}$
   bilden. Dann ist
       $m_{i+1}^{2}\equiv m_{i}^{2}-(m_{i}^{2}+7)\equiv -7\mod 2^{i+1}$.
   Somit gibt es eine in $\mathbb {Q} _{2}$ konvergente Folge $m:=\lim _{i\to \infty }m_{i}$ mit $m^{2}=-7$. Die Summe von 5 Quadraten $1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+m^{2}=7+m^{2}$ verschwindet.

• Es seien $K,A,k$ wie oben, aber $f(X)=X^{p}-1$. Dann ist ${\bar {f}}(X)=X^{p}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})^{p}$ mit Faktoren $X-{\bar {1}}$, die alle gleich, also nicht teilerfremd sind. Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar.

Henselscher Ring

→ Hauptartikel: Henselscher Ring

Die Voraussetzung, dass $K$ vollständig ist, ist eigentlich stärker als es für den Beweis des henselschen Lemmas erforderlich wäre. Allgemein nennt man bewertete Körper $K$ beziehungsweise Ringe $A$, in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Hebungsbaum

Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel um das Verhalten eines Polynoms $f(X)\in \mathbb {Z} [X]$, genauer das Verhalten der Nullstellen modulo $p^{k}$ des Polynoms, zu beschreiben. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.

Der Hebungsbaum hat in seiner k-ten Ebene die Nullstellen modulo $p^{k}$ und diese werden mit ihren Hebungen modulo $p^{k+1}$ verbunden, falls diese ebenfalls wieder Nullstellen sind.

Nullstellen und ihre Hebungen

Sei $f(X)\in \mathbb {Z} [X]$ ein rational irreduzibles Polynom. Sei p prim. Sei $k\geq 1$ die Ebene des Hebungsbaumes.

Sei $a\in \mathbb {Z}$. Ist

$f(a)\equiv 0\mod p^{k}$,

so sagen wir, $a$ ist eine Nullstelle von f(X) in $\mathbb {Z} /p^{k}$ oder modulo $p^{k}$.

Sei $a\in \mathbb {Z}$ eine Nullstelle von $f(X)$ modulo $p^{k}$. Sei $l\geq 1$ . Ist $b\in \mathbb {Z}$ eine Nullstelle von f(X) modulo $p^{k+l}$ und ist

$b\equiv a\mod p^{k}$ ,

dann sagen wir, dass $b$ eine Nullstelle modulo $p^{k+l}$ ist, die die Nullstelle a modulo $p^{k}$ hebt.

Beschreibung des Hebungsbaumes

In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in $\mathbb {Z} /p^{k}$ eingetragen, wobei $k\in \mathbb {Z}$ die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist.

Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten. Mit wachsendem $k$ wächst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen.

In der untersten und damit ersten Ebene ($k=1$) werden alle Nullstellen des Polynoms in $\mathbb {Z} /p$ eingetragen. Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall $[0,p-1]$ an.

In der darüberliegenden zweiten Ebene ($k=2$) werden alle Nullstellen des Polynoms in $\mathbb {Z} /p^{2}$ eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall $[0,p^{2}-1]$ an. Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in $\mathbb {Z} /p$, so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden.

In der nächsthöhergelegenen Ebene ($k=3$) werden alle Nullstellen des Polynoms in $\mathbb {Z} /p^{3}$ eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall $[0,p^{3}-1]$ an. Auch hier gilt: Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in $\mathbb {Z} /p^{2}$, so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden.

Dies gilt für alle folgenden Ebenen $k\in \mathbb {Z}$.

Beispiel

Sei das Polynom

$f(x)=x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+x-1$

gegeben. Sei $p=5$ prim.

Wir erhalten folgenden Hebungsbaum:

Beispiel zu dem Polynom $f(x)=x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+x-1$

In der ersten Ebene ($k=1$) befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall $[0,4]$. In der zweiten Ebene ($k=2$) sind die Nullstellen 3, 8, 13, 18 und 23 in dem Intervall $[0,24]$ vorhanden. In der darauffolgenden dritten Ebene ($k=3$) sehen wir die Nullstellen 8, 33, 58, 83 und 108 in dem Intervall $[0,124]$. Für dieses Polynom gilt, dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle $a=3$ in der ersten Ebene reduziert werden. Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden. Man sagt kurz: Die Nullstelle $a=3$ aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben.

Analog für die dritte Ebene.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• David Eisenbud: Commutative algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 150). Springer-Verlag, Berlin/ New York 1995, ISBN 3-540-94268-8.
• Atilla Pethö: Algebraische Algorithmen. Hrsg.: Michael Pohst. Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06598-2, S. 187. 

• Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, 2005, ISBN 3-540-21379-1, S. 51. 

• K. Hensel: Theorie der Algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig 1908. 
• Helmut Koch: Zahlentheorie - Algebraische Zahlen und Funktionen. Vieweg, 1997.
• Matthias Künzer: Heben von Nullstellen. Universität Stuttgart, 2011.