p-adische Zahl

Für jede Primzahl p bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper $\Bbb Q_p$ des Körpers $\Bbb Q$ der rationalen Zahlen; sie wurden 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des Lokal-Global-Prinzips von Helmut Hasse, das – vereinfacht gesprochen – aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen $\R$ und über allen $\Bbb Q_p$ gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist $\Bbb Q_p$ vollständig und erlaubt so die Entwicklung einer p-adischen Analysis analog zur reellen Analysis.

Motivation [Bearbeiten]

Ist p eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede ganze Zahl in einer p-adischen Entwicklung geschrieben werden (man sagt, die Zahl wird „zur Basis p geschrieben“, siehe auch Stellenwertsystem) der Form

$\pm\sum_{i=0}^n a_i \cdot p^i$ (1)

wobei die $a_i$ Zahlen aus $\{0,1,\ldots,p-1\}$ sind. So ist etwa die 2-adische Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man

$35 \;=\; 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 \;=\; 100011_2$ .

Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Zulassung unendlicher Summen am unteren Ende, d.h. der folgenden Form:

$\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i \cdot p^i$ (2)

Diese Reihen sind konvergent bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags. Zum Beispiel ist 0,13131313...₅ die p-adische Darstellung von 1/3 zur Basis 5. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die $a_i=0$ ist für alle $i<0$ . Alternativ könnte man die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängern und Reihen dieser Form erhalten:

$\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i$ (3)

wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper $\Bbb Q_p$ der p-adischen Zahlen. Diejenigen p-adischen Zahlen, für die $a_i=0$ für alle $i<0$ ist, heißen p-adische ganze Zahlen. Analog zur gewöhnlichen p-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:

$\dotsb + 2\cdot 5^4 + 3\cdot 5^3 + 2\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 2\cdot 5^0 + 3\cdot 5^{-1} = \ldots 23232{,}3_5$

Anschaulich besteht also die gewöhnliche p-adische Entwicklung aus Summen, die sich nach rechts fortsetzen mit immer kleineren (negativen) Potenzen von p, und die p-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links fortsetzen mit immer größeren p-Potenzen.

Mit diesen „formalen Laurent-Reihen in p“ kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen p-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, Multiplikation nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von $\ldots 44444_5$ und $1_5$ die Zahl $0_5$ . Das fehlende Vorzeichen ist also tatsächlich nicht nötig, da auch alle Inversen (negative Zahlen gibt es nicht!) eine p-adische Darstellung (3) haben. Des Weiteren lässt sich die Subtraktion nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden „Borgen“ (man versuche es bei 0₅−1₅=…44444₅). Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht „aufgeht“.

Ein technisches Problem ist nun, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt.

Konstruktion [Bearbeiten]

Analytische Konstruktion [Bearbeiten]

Die reellen Zahlen können konstruiert werden als Vervollständigung der rationalen Zahlen. Sie werden dabei aufgefasst als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dies erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl 1 als 1,000… zu schreiben, oder als 0,999… − es ist 1,000… = 0,999… in $\R$ .

Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab, und indem man statt der üblichen euklidischen (archimedischen) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, eine andere Metrik benutzt, erhält man andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen.

p-adischer Betrag [Bearbeiten]

Für eine fest vorgegebene Primzahl p definieren wir den p-adischen Betrag auf $\Bbb Q$ : Jede rationale Zahl x außer 0 lässt sich schreiben als $x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n$ mit einer eindeutigen ganzen Zahl n und zwei natürlichen Zahlen a, b, die beide nicht durch p teilbar sind. Wir setzen dann $|x|_p \,:=p^{-n}$ und $|0|_p\,:=0$ . Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag.

Zum Beispiel ist $x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}$ , damit ist

$|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11$

$|x|_p=1$ für jede andere Primzahl p

Durch diese Definition des Betrags $|x|_p$ werden große Potenzen von p „betragsmäßig klein“. Mit diesem Betrag auf den p-adischen Zahlen wird ein diskreter Bewertungsring definiert.

p-adische Metrik [Bearbeiten]

Die p-adische Metrik $d_p$ auf $\Bbb Q$ definiert man nun so: (Leutbecher, 1996, S. 118f)

$d_p(x,y)=|x-y|_p$

Damit ist beispielsweise die Folge $(1,5,5^2,5^3,5^4,\ldots)$ in $\Bbb Q$ bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge $(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8},\ldots)$ beschränkt, aber keine Cauchy-Folge ist, denn für jedes n ist

$d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1$

Die Vervollständigung des metrischen Raums $(\Bbb Q,d_p)$ ist der metrische Raum $\Bbb Q_p$ der p-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent heißen, wenn die Folge ihrer punktweisen p-adischen Abstände eine Nullfolge ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) außerdem ein Körper ist, in dem $\Bbb Q$ enthalten ist.

Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form

$\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i$ (3)

sofort als konvergent zu erkennen, falls k eine ganze Zahl ist und die $a_i$ in $\{0,1,\ldots,p-1\}$ liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von $\Bbb Q_p$ als Grenzwert genau einer solchen Reihe darstellen lässt.

Algebraische Konstruktion [Bearbeiten]

Hier wird zuerst der Ring der p-adischen ganzen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper $\Bbb Q_p$ .

Wir definieren $\Z_p$ als projektiven Limes der Ringe $\Bbb Z/p^n\Bbb Z$ (siehe Restklassenkongruenz): Eine p-adische ganze Zahl ist dann eine Folge $(a_n)$ von Restklassen $a_n$ aus $\Bbb Z/p^n\Bbb Z$ , wobei gilt:

$1\le n<m \Rightarrow a_n \equiv a_m \pmod{p^n}$

Jede ganze Zahl m definiert eine Folge $m+p^n\mathbb Z$ und kann daher als Element von $\Z_p$ aufgefasst werden.(Leutbecher, 1996, S. 117f)

Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind wohldefiniert, da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede p-adische ganze Zahl $(a_n)$ die inverse Zahl $(p^n-a_n)$ , und jede Zahl, deren erste Komponente $a_1$ nicht 0 ist, hat ein Inverses, denn in dem Fall sind alle $a_n$ zu $p^n$ teilerfremd, haben also ein Inverses $b_n$ modulo $p^n$ , und die Folge $(b_n)$ (welche die Kongruenzeigenschaft des projektiven Limes hat) ist dann die Inverse zu $(a_n)$ .

Jede p-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form (3) dargestellt werden, dabei sind die Partialsummen gerade die Komponenten der Folge. Zum Beispiel kann man die 3-adische Folge $(2, 8, 8, 35, 35, 35, \ldots)$ auch als $2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb$ schreiben, oder in der verkürzten Schreibweise als …001022₃.

Der Ring der p-adischen ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, deshalb können wir den Quotientenkörper bilden und erhalten $\Bbb Q_p$ , den Körper der p-adischen Zahlen. Jedes von 0 verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form $u p^n$ darstellen, wobei n eine ganze Zahl und u eine invertierbare p-adische ganze Zahl (also mit erster Komponente $u_0 \ne 0$ ) ist. Diese Darstellung ist eindeutig.

Unterschiede zu den archimedischen Systemen [Bearbeiten]

Abgesehen von der anderen, der „gegenläufigen“ Konvergenz der p-adischen Metrik gegenüber der unter Stellenwertsystem beschriebenen archimedischen Metrik gibt es noch die Unterschiede:

Die p-adischen Basen sind Primzahlen oder Primelemente, weil das maximale Ideal des (diskreten) Bewertungsrings ein Primideal (und Hauptideal) ist.
Zu einer gegebenen Basis ist die Darstellung der Zahlen als unendlicher Summe (3) eindeutig. Es gibt also keine Zahlen wie die endlichen Brüche bei manchen Stellenwertsystemen, für die es 2 Darstellungen als unendliche Summe gibt, wie bei 1,000… = 0,999… = 1 in $\R$ dargestellt zur Basis zehn.
Bei den Algorithmen z. B. für die Grundrechenarten laufen Potenzen und Überläufe in die gleiche aufsteigende Richtung. Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.
Bei den Stellenwertsystemen kann man bei Brüchen, die in Bezug auf eine Basis endlich sind, ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. Will man jedoch bei einer irrationalen Zahl im Endlichen (bei hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen im Unendlichen fortschreiten, dann wirken die Überläufe in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich.
Ein Vorzeichen wie bei den reellen Zahlen gibt es nicht, auch keine „negativen“ Zahlen. Die Darstellung von $-1$ als unendliche Summe (3) ist $\scriptstyle -1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i$ .
Da für alle Primzahlen $p$ die Zahl $-1$ in $\Q_p$ als Summe von Quadraten dargestellt werden kann, kann $\Q_p$ nicht angeordnet werden.
Eine nichtarchimedische Metrik $d_p$ definiert zu jedem $\varepsilon \in \R^+$ eine Äquivalenzrelation
$x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon$ .
Für $\varepsilon = 1$ und $y=0$ erhält man so einen Bewertungsring, wie es $\Z_p$ einer ist, der für $x\neq 0$ immer wenigstens eines, $x$ oder $x^{-1}$ , enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares.

Eigenschaften [Bearbeiten]

Die Menge $\Bbb Q_p$ der p-adischen Zahlen ist überabzählbar.

Der Körper der p-adischen Zahlen enthält $\Bbb Q$ und hat deshalb Charakteristik 0, kann aber nicht angeordnet werden.

Der topologische Raum $\Z_p$ der p-adischen ganzen Zahlen ist ein total unzusammenhängender, kompakter Raum, der Raum aller p-adischen Zahlen ist lokalkompakt und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide vollständig.

Die Primelemente von $\Z_p$ sind genau die zur Zahl p assoziierten Elemente. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich $|p| = 1/p$ ist; dieser Betrag ist der größte in $\Bbb Q_p$ vorkommende Betrag, der kleiner ist als 1. Die Primelemente von endlichen Erweiterungen von $\Bbb Q_p$ sind Teiler von p.

$\Z_p$ ist ein lokaler Ring, genauer ein diskreter Bewertungsring. Sein maximales Ideal wird von p (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt.

Die reellen Zahlen haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, die komplexen Zahlen; bereits der durch Adjunktion einer Quadratwurzel entstehende Erweiterungskörper ist algebraisch abgeschlossen. Im Gegensatz dazu hat der algebraische Abschluss von $\Bbb Q_p$ einen unendlichen Erweiterungsgrad. $\Bbb Q_p$ hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen.

Die Metrik auf $\Bbb Q_p$ lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper $\Bbb C_p$ , der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht.

p-adische Funktionentheorie [Bearbeiten]

Die übliche Definition der e-Funktion

$\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

konvergiert für alle x mit $|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }$ . Dieser Konvergenzkreis gilt für alle algebraischen Erweiterungen von $\Bbb Q_p$ und deren Vervollständigungen, einschließlich $\Bbb C_p$ .

Damit liegt $\exp(p)$ in $\Bbb Q_p$ für alle $p>2$ ; in $\Bbb Q_2$ liegt $\exp(4)$ . Es gibt algebraische Erweiterungen von $\Bbb Q_p$ , in denen die p-te Wurzel von $\exp(p)$ bzw. die vierte Wurzel von $\exp(4)$ liegt; diese Wurzeln könnte man als p-adische Entsprechungen der Eulerschen Zahl auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl $e = 2{,}718\ldots$ wenig zu tun.

Funktionen von $\R$ nach $\R$ mit Ableitung 0 sind konstant. Für Funktionen von $\Bbb Q_p$ nach $\Bbb Q_p$ gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion

$f: \Bbb Q_p\to\Bbb Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2$ für $x\neq 0$ , $f(0) = 0$

auf ganz $\Bbb Q_p$ die Ableitung 0, ist aber nicht einmal lokal konstant in 0. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in 0 ist

$\lim_{h\to 0}\left|\frac{ \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2}{h}\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0$ .

Approximationssatz [Bearbeiten]

Sind $r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \ldots$ Elemente von $\Bbb Q_\infty (:=\R), \Bbb Q_2, \Bbb Q_3, \Bbb Q_5, \Bbb Q_7, \ldots$ , dann gibt es eine Folge $(x_{\nu})$ in $\Bbb Q$ , so dass für jedes $p$ (einschließlich $\infty$ ) $r_p$ der Grenzwert von $(x_{\nu})$ in $\Bbb Q_p$ unter $|\cdot|_p$ ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.)