Hermitesche Sesquilinearform

Als Hermitesche Form (nach Charles Hermite) bezeichnet man in der linearen Algebra eine besondere Art der Sesquilinearform ähnlich den symmetrischen Bilinearformen.

Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb C$. Eine Hermitesche Sesquilinearform ist eine Abbildung

$\langle \,,\,\rangle\colon V \times V \to \mathbb C$,

die für alle $x,y,z$ aus $V$ und für alle $a$, aus $\mathbb C$ die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. $\;\langle x,\,a \cdot y+z \rangle = a \langle x, y \rangle+\langle x, z \rangle$ (linear in einem Argument);
2. $\;\langle a\cdot x + y, z \rangle = \overline{a}\langle x, z \rangle+\langle y, z \rangle$ (semilinear im anderen Argument);
3. $\;\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ (Hermitesche Symmetrie).

Dabei bezeichnet $\overline{x}$ komplexe Konjugation.

Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen.

Aus den Eigenschaften (1) und (3) folgt bereits (2), oder aus (2) und (3) folgt (1); nur um der Übersichtlichkeit willen sind sowohl (1) als auch (2) als Bedingungen genannt worden.

Relevant ist der Begriff der Hermiteschen Sesquilinearform nur über dem Körper der komplexen Zahlen $\mathbb C$; über dem Körper der reellen Zahlen $\mathbb R$ ist jede Hermitesche Sesquilinearform eine symmetrische Bilinearform. Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Hermitesche Sesquilinearform.

Hermitesche Standardform

Die durch

$\langle \vec{x},\vec{y} \rangle =\langle (x_1, x_2, ..., x_n),(y_1, y_2, ..., y_n)\rangle =\bar x_1 y_1 +\bar x_2 y_2 +...+\bar x_n y_n =\sum_{k=1}^{n}\bar x_k y_k$

definierte Abbildung heißt Hermitesche Standardform.

Literatur

•  V. L. Popov: Hermitian form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).