Zentrum (Algebra)

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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet das Zentrum einer Algebra oder einer Gruppe diejenige Teilmenge der betrachteten Struktur, die aus all den Elementen besteht, die mit allen Elementen bzgl. der Multiplikation kommutieren.

Zentrum einer Gruppe[Bearbeiten]

Ist G eine Gruppe, so ist deren Zentrum die Menge

\mathrm Z(G):=\{z \in G \mid \forall g \in G : gz=zg\}.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das Zentrum von G ist eine Untergruppe, denn sind x und y aus Z(G), dann gilt für jedes g\in G

(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy),

also liegt auch xy im Zentrum. Analog zeigt man, dass x^{-1} im Zentrum liegt:

x^{-1}g = (g^{-1}x)^{-1} = (xg^{-1})^{-1} = gx^{-1}.

Das neutrale Element der Gruppe e liegt stets im Zentrum: eg = g = ge.

Das Zentrum ist abelsch und ein Normalteiler von G, es ist sogar eine charakteristische Untergruppe von G, bleibt also fest unter jedem Automorphismus. Das Zentrum ist sogar streng charakteristisch, bleibt also auch fest unter jedem Epimorphismus. G ist genau dann abelsch, wenn Z(G) = G.

Das Zentrum besteht aus genau den Elementen z von G, für die die Konjugation mit z, also \left(g \mapsto z^{-1}gz\right), die identische Abbildung ist. Somit kann man das Zentrum auch als Spezialfall des Zentralisators definieren. Es gilt Z_G(G)=Z(G).

Beispiele[Bearbeiten]

 (1\;2)(1\;3) = (1\;3\;2) \neq (1\;3)(1\;2) = (1\;2\;3)
 (1\;2)(2\;3) = (1\;2\;3) \neq (2\;3)(1\;2) = (1\;3\;2)
 (1\;2\;3)(1\;2) = (1\;3) \neq (1\;2)(1\;2\;3) = (2\;3)
 (1\;3\;2)(1\;2) = (2\;3) \neq (1\;2)(1\;3\;2) = (1\;3)
  • Die Diedergruppe D_4 besteht aus den Bewegungen der Ebene, die ein fest gewähltes Quadrat unverändert lassen. Es sind dies die Drehungen um den Mittelpunkt des Quadrats um Winkel von 0°, 90°, 180° und 270°, sowie vier Spiegelungen an den beiden Diagonalen und den beiden Mittelparallelen des Quadrats. Das Zentrum dieser Gruppe besteht genau aus den beiden Drehungen um 0° und um 180°.
  • Das Zentrum der multiplikativen Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen mit Einträgen in den reellen Zahlen besteht aus den reellen Vielfachen der Einheitsmatrix.

Zentrum eines Rings[Bearbeiten]

Das Zentrum eines Rings R besteht aus denjenigen Elementen des Rings, die mit allen anderen kommutieren:

\mathrm Z(R)=\{z\in R\mid za=az\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ a\in R\}.

Das Zentrum Z(R) ist ein kommutativer Unterring von R. Ein Ring stimmt genau dann mit seinem Zentrum überein, wenn er kommutativ ist.

Zentrum einer assoziativen Algebra[Bearbeiten]

Das Zentrum einer assoziativen Algebra A ist die kommutative Unteralgebra

\mathrm Z(A)=\{z\in A\mid za=az\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ a\in A\}.

Eine Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie kommutativ ist.

Zentrum einer Lie-Algebra[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Das Zentrum einer Lie-Algebra \mathfrak g ist das (abelsche) Ideal

\mathfrak z(\mathfrak g)=\{Z\in \mathfrak g\mid[X,Z]=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ X\in\mathfrak g\},

wobei [\cdot,\cdot] die Lie-Klammer also die Multiplikation in \mathfrak g bezeichnet. Eine Lie-Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie abelsch ist.

Beispiel[Bearbeiten]

Z\left( \mathrm{GL}  (n,K) \right) = \{ \lambda E_n\colon \lambda \in K^{*} \}.
  • Für eine assoziative Algebra mit dem Kommutator als Lieklammer stimmen die beiden Zentrumsbegriffe überein.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]