Hermitesches Polynom

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Die hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2}\,,

bzw. H_n(x) = e^{x^2/2} \, \left(x - \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\right)^n \, e^{-x^2/2}\,.

Die hermiteschen Polynome (mit einem festen n) sind Lösungen der hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

H_n''(x) - 2\,x\cdot H_n'(x) + 2\,n\cdot H_n(x)=0\qquad   (n=0,1,2,\dots).

Explizite Darstellung[Bearbeiten]

Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung

 H_n(x)=(-1)^n \sum_{k_1+2k_2=n} \frac{n!}{k_1!k_2!} (-1)^{k_1+k_2} (2x)^{k_1}

also

H_0(x)=1
H_1(x)=2x
H_2(x)= (2x)^2 - 2 = 4x^2-2
H_3(x)= (2x)^3 - 6 (2x) = 8x^3-12x
H_4(x)= (2x)^4 - 12 (2x)^2 + 12 = 16x^4-48x^2+12

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen (n \in \N_0, H_{-1}(x) := 0):

\qquad H_{n+1}(x) = 2\,x\, H_n(x) - 2\,n\,H_{n-1}(x)
\qquad H_n'(x) = 2\,n\,H_{n-1}(x)

Da bei jedem Iterationsschritt ein x hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass H_n(x) ein Polynom von Grade n ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz x^n ist 2^n. Für gerade n treten ausschließlich gerade Potenzen von x auf, entsprechend für ungerade n nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

H_n(-x) = (-1)^n \cdot H_n(x)

ausdrücken lässt.

Die rekursive Darstellung der o.g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution n'=n+1 auch wie folgt schreiben:

H_{n}(x) = 2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2\ldots)

Pascal-Quelltext[Bearbeiten]

Mit Hilfe der bekannten Anfangsbedingungen H_{0}(x)=1 und H_{1}(x)=2x lassen sich die Funktionswerte mit folgender rekursiver Pascal-Funktion leicht berechnen:

 Function Hermite(n:Byte;x:Extended):Extended;
   Function Go(m:Byte; p,q:Extended): Extended;
   Begin
     If n=m Then Go := p
            Else Go := Go(m+1, q, 2*x*q - 2*(m+1)*p)
   End;
 Begin
   Hermite := Go(0, 1, 2*x)
 End;

Die allgemeinere Ableitungsformel H_{n}^{(m)}(x)=2nH_{n-1}^{(m-1)}(x) lässt sich wie folgt umsetzen:

 Function HermiteAbleitung(n,m:Byte;x:Extended):Extended;
 Begin
  If m=0 Then HermiteAbleitung:=Hermite(n,x)
         Else
   If n<m Then HermiteAbleitung:=0
          Else If m=1 Then HermiteAbleitung:=2*n*Hermite(n-1,x)
                      Else HermiteAbleitung:=2*n*HermiteAbleitung(n-1,m-1,x)
 End;

Orthogonalität[Bearbeiten]

Die hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion \varrho = e^{-x^2} die Orthogonalitätsrelation

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \cdot H_n(x)\cdot H_m(x) \, dx=  2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi} \cdot \delta_{nm}.

Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.

Andere Darstellung der hermiteschen Polynome[Bearbeiten]

Eine andere Definitionsmöglichkeit der hermiteschen Polynome ist

He_n(x)= 2^{-n/2} H_n(x/\sqrt{2}) = (-1)^n e^{x^2/2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2/2}.

Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion e^{-x^2/2} orthogonal

\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, He_n(x) \, He_m(x) \, dx = \sqrt{2\,\pi} \, n! \, \delta_{mn}

und erfüllen die Differentialgleichung

y'' - 2x\,y' + 2n\, y=0.

Sie lassen sich rekursiv durch

He_{n+1}(x) = x\,He_n(x) - n\,He_{n-1}(x)

bestimmen.

Binomischer Lehrsatz[Bearbeiten]

Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für a^2+b^2=1 ist

H_n(ax+by)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}H_k(x)H_{n-k}(y).

Anwendung[Bearbeiten]

Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Formel von Faà di Bruno

Literatur[Bearbeiten]