Integralzeichen

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Das Integralzeichen \textstyle \int ist aus dem Buchstaben langes s („ſ“) als Abkürzung für das Wort Summe, lateinisch ſumma, entstanden. Diese symbolische Schreibweise von Integralen geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück. Für das Integralzeichen gibt es eine Reihe von Abwandlungen, unter anderem für Mehrfachintegrale, Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale und Volumenintegrale.

Geschichte[Bearbeiten]

Leibniz erwähnte in einem später veröffentlichtem Manuskript Analysis tetragonistica vom 29. Oktober 1675 erstmals das Integralzeichen.[1]:

„Utile erit scripsisse ∫ pro omnia“

„Es wird nützlich sein, ∫ anstatt omnia zu schreiben“

Omnia steht dabei für omnia l und wird in dem geometrisch orientierten Flächenberechnungsverfahren von Bonaventura Cavalieri verwendet. Die zugehörige gedruckte Veröffentlichung Leibniz' ist De geometria recondita von 1686. Damals nannte er die Integralrechnung noch calculus summatorius, deshalb das lange S. Auch Johann Bernoulli beschäftigte sich zu der Zeit mit dem Thema, und da Leibniz einheitliche wissenschaftliche Zeichen anstrebte, diskutierten sie darüber. So blieb das Zeichen von Leibniz und der Name calculus integralis, Integralrechnung, von Bernoulli.[2]

Verwendung[Bearbeiten]

Das Integral einer reellen Funktion f bezüglich der Variablen x über das Intervall [a,b] wird durch

\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x

notiert. Die multiplikativ zu lesende Notation f(x)\;\mathrm{d}x deutet dabei an, wie sich die Integraloperation aus Streifen der Höhe  f(x) und der infinitesimalen Breite  \mathrm{d}x zur Fläche unter der Funktion summiert.

Traditionen des Formelsatzes[Bearbeiten]

In den verschiedenen Traditionen des Formelsatzes haben sich leicht unterschiedliche Formen des Integralzeichens eingebürgert. So wird im deutschen Formelsatz die im Bild Deutsche Form des Integralzeichens abgebildete Form verwendet, während beispielsweise im russischen Raum sich eine Formvariante etabliert hat, die die Graphik Russische Formvariante des Integralzeichens wiedergibt.[3]

Außerdem schreibt man beispielsweise im amerikanischen Satz in Textformeln die oberen und unteren Grenzen rechts vom Symbol angeordnet, um störende Zeilenabstände einzuschränken,

\int_0^T f(t)\;\mathrm dt,

während in deutscher Tradition

\int\limits_0^T f(t)\;\mathrm dt

üblich wäre. Auch sind Integrale in Textformeln immer kleiner als in abgesetzten Formeln.

Kodierung[Bearbeiten]

Das Integralzeichen und seine Abwandlungen werden in Computersystemen folgendermaßen kodiert.

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
Zeichen Unicode Bezeichnung HTML LaTeX[4]
Position Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt
U+222B integral Integral &#x222B; &#8747; &int; \int
U+222C double integral Doppelintegral &#x222C; &#8748; \iint
U+222D triple integral Dreifachintegral &#x222D; &#8749; \iiint
U+222E contour integral Kurvenintegral &#x222E; &#8750; \oint
U+222F surface integral Oberflächenintegral &#x222F; &#8751; \oiint
U+2230 volume integral Volumenintegral &#x2230; &#8752; \oiiint
U+2231 clockwise integral rechtsläufiges Integral &#x2231; &#8753; \intclockwise
U+2232 clockwise contour integral rechtsläufiges Kurvenintegral &#x2232; &#8754; \ointclockwise
U+2233 anticlockwise contour integral linksläufiges Kurvenintegral &#x2233; &#8755; \ointctrclockwise
U+2320 top half integral obere Hälfte eines Integrals &#x2320; &#8992;
U+2321 bottom half integral untere Hälfte eines Integrals &#x2321; &#8993;
U+23AE integral extension Erweiterung eines Integrals &#x23AE; &#9134;
U+2A0B summation with integral Integralsumme &#x2A0B; &#10763; \sumint
U+2A0C quadruple integral operator Vierfachintegral &#x2A0C; &#10764; \iiiint
U+2A0D finite part integral Integral mit endlichem Teil &#x2A0D; &#10765; \dashint
U+2A0E integral with double stroke Integral mit Doppelstrich &#x2A0E; &#10766; \ddashint
U+2A0F integral average with slash Mittelwertintegral mit Querstrich &#x2A0F; &#10767; \strokedint
U+2A11 anticlockwise integration linksläufiges Integral &#x2A11; &#10769; \intctrclockwise
U+2A15 integral around a point operator Integral um einen Punkt &#x2A15; &#10773;
U+2A16 quaternion integral operator Quaternionenintegral &#x2A16; &#10774; \sqint
U+2A17 integral with leftwards arrow with hook Integral mit Linkspfeil mit Haken &#x2A17; &#10775;
U+2A18 integral with times sign Integral mit Malzeichen &#x2A18; &#10776;
U+2A19 integral with intersection Integral mit Durchschnitt &#x2A19; &#10777; \landdownint
U+2A1A integral with union Integral mit Vereinigung &#x2A1A; &#10778; \landupint
U+2A1B integral with overbar Integral mit Überstrich &#x2A1B; &#10779;
U+2A1C integral with underbar Integral mit Unterstrich &#x2A1C; &#10780;

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Carl von Prantl: Leibniz, Gottfried Wilhelm. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 18, Duncker & Humblot, Leipzig 1883, S. 172–209., suche calculus summatorius
  2. Alfred Warner, Historisches Wörterbuch der Elektrotechnik, Informationstechnik und Elektrophysik
  3. Zaitcev, V.; Janishewsky, A.; Berdnikov, A. (1999), Russian Typographical Traditions in Mathematical Literature. EuroTeX'99 Proceedings (Online; PDF; 200 kB)
  4. Scott Pakin: The Comprehensive LATEX Symbol List. 9. November 2009, abgerufen am 4. Februar 2013 (PDF; 4,4 MB, englisch).

Weblinks[Bearbeiten]