Kreissegment

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Kreissegment

Kreissegment (Kreisabschnitt) nennt man in der Geometrie eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt wird.

Größen des Kreissegments:

α = Mittelpunktswinkel
b = Kreisbogen
h = Segmenthöhe
r = Radius
s = Kreissehne
A = Segmentfläche
M = Kreismittelpunkt
Verbindung A-M-B = Gleichschenkeliges Dreieck

Der Flächeninhalt eines Kreissegments lässt sich aus dem Kreisradius r und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel $α$ (hier im Gradmaß) berechnen. Man ermittelt dazu die Flächeninhalte des entsprechenden Kreissektors und des in der Skizze dargestellten gleichschenkligen Dreiecks. Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, so muss man diese Flächeninhalte subtrahieren (Sektorfläche minus Dreiecksfläche). Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° sind die Flächeninhalte zu addieren. Wenn der Mittelpunktswinkel genau 180° beträgt, ist das Kreissegment eine Halbkreisfläche, und die Fläche des Dreiecks ist 0.

Formeln zum Kreissegment (alle Winkel in Bogenmaß)
Flächeninhalt	$A = \frac{r^2}2 \cdot \left(\alpha-\sin\alpha\right),$ $A = \frac{r \cdot b}{2} - \frac{s \cdot (r - h)}{2},$ $A = \frac { \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)^2 + hs \cdot (4 h^2 - s^2)}{16 h^2},$ $A = r^2\arccos{\left(1-\frac{h}{r}\right)}-\sqrt{2rh-h^2}(r-h)$ ,
Radius	$r = \frac{4 h^2 + s^2}{8 h}$
Kreissehne	$s = 2 r \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right),$ $s = \frac{2 h}{\tan \left(\frac{\alpha}{4}\right)} = 2 h \cdot \cot \left(\frac{\alpha}{4}\right)$ , $s=2\cdot\sqrt{r^2-(r-h)^2} = 2\sqrt{2rh-h^2}$
Segmenthöhe	$h = r \cdot \left(1 - \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\right),$ $h = r - \sqrt{ r^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2 } = r - \frac{1}{2}\sqrt{4r^2-s^2},$ $h = \frac{s}{2} \cdot \tan \left(\frac{\alpha}{4}\right)$
Bogenlänge	$b = r \cdot \alpha,$ $b = r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{180^\circ},$ Winkel $α$ in Grad, $b = \frac{\alpha\cdot (4 h^2 + s^2)}{8 h},$ $b = \frac{\arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot (4 h^2 + s^2)}{2 h}$
Mittelpunktswinkel	$\alpha\ = 4 \cdot \arctan \left(\frac{2 h}{s}\right)$ , $\alpha\ = 2 \cdot \arccos \left(1 -\frac{h}{r}\right),$
Kreiszahl	$\pi \, \dot= \, 3{,}1415926536...$
Flächenschwerpunkt	$x_s = \frac{4}{3} \cdot \frac{r \cdot \sin^3\frac{\alpha}{2}}{ \alpha - \sin \alpha}$ $y s = 0$ Sonderfall Halbkreis: $x_s = \frac{4 r}{3 \pi}$