Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch Von-Neumann-Gleichung genannt.

Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, d.h. der Fluss durch den Phasenraum ist volumen- und sogar orientierungserhaltend.

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Unabhängig vom gewählten Ensemble gilt für die zeitliche Entwicklung, dass die totale Ableitung nach der Zeit verschwindet:

${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right]=0$

wobei

• $q_{i}$ und $p_{i}$ die kanonischen Orts- und Impulskoordinaten des $i$-ten Teilchens im Phasenraum bezeichnen.

Das bedeutet, dass sich die Phasenraumdichte entlang einer Phasenraumtrajektorie nicht verändert.

Ersetzt man ${\dot {q}}_{i}$ und ${\dot {p}}_{i}$ gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:

${\frac {\partial }{\partial t}}\rho (\tau ,t)=-\{\,\rho (\tau ,t),H\,\}=\{\,H,\rho (\tau ,t)\,\}$

wobei

• H die Hamilton-Funktion
• $\tau$ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).

Die Liouvillegleichung kann bei Einführung des Liouvilleoperators

$L=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=\{\cdot ,H\}$

auch wie folgt geschrieben werden:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{L}\rho$

Quantenmechanische Gleichung

Die quantenmechanische Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}[\rho ,H]$

Hier bezeichnet

• $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• $\rho$ die Dichtematrix
• $H$ den Hamilton-Operator
• die eckigen Klammern den Kommutator.

Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville-Operator $L$ einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator $A$:

$LA={\frac {i}{\hbar }}[A,H]$

Damit schreibt sich die Von-Neumann-Gleichung:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=L\rho$

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und der klassischen Poisson-Klammer hergeleitet werden:

$\lim \limits _{\hbar \rightarrow 0}~{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]=\{{A}_{w},{B}_{w}\}$

Literatur

Franz Schwabl, Statistische Mechanik, Springer 2004