Magere Menge

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In der allgemeinen Topologie und insbesondere der deskriptiven Mengenlehre bezeichnet man Mengen als mager (engl. meager bzw. meagre), die in einem gewissen Sinne klein oder vernachlässigbar sind: Sie sind die Vereinigung abzählbar vieler nirgends dichter Teilmengen eines topologischen Raumes.[1] Dass magere Mengen tatsächlich in geeigneten Räumen auf sinnvolle Weise als klein angesehen werden können, und nicht etwa der gesamte Raum mager ist, wird durch den Satz von Baire garantiert.

Eine Menge, deren Komplement mager ist, wird als komagere Menge oder residuelle Menge bezeichnet (engl. residual set, comeagre set oder comeager set).

Alternativ lassen sich magere Mengen als die Teilmengen definieren, die Teilmenge einer Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Mengen ohne innere Punkte sind.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jede abzählbare Menge ist mager, falls einelementige Mengen nirgends dicht sind.
  • Insbesondere ist in jedem T1-Raum (jede einelementige Menge ist abgeschlossen) ohne isolierte Punkte (keine einelementige Menge ist offen) jede abzählbare Menge mager.
  • Eine magere Menge enthält keine isolierten Punkte des umgebenden Raums, denn solche würden zum Inneren des Menge beisteuern.
  • Jede dichte offene Menge und jeder abzählbare Schnitt von dichten offenen Mengen sind residuell. Denn das Komplement einer dichten offenen Menge ist nirgends dicht: Sonst hätte es als abgeschlossene Menge nichtleeres Inneres, das außerhalb der gegebenen offenen Menge läge, welche somit nicht dicht sein könnte.
  • So ist etwa die Menge der rationalen Zahlen mager in der Menge der reellen Zahlen.
  • Entsprechend ist die Menge der irrationalen Zahlen residuell.
  • Die Menge aller positiven reellen Zahlen ist nicht mager, aber auch nicht residuell, da das Komplement ebenfalls nicht mager ist.
  • Jede nirgends dichte Menge ist mager, etwa die Cantor-Menge.
  • Magere Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Nicolas Bourbaki, General Topology (Topologie Générale), ISBN 0-387-19372-3 (Ch. 5-10): Chapter ⅠⅩ, §5.2