Mellin-Transformation

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Unter der Mellin-Transformation versteht man in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine mit der Fourier-Transformation verwandte Integraltransformation. Sie ist benannt nach dem finnischen Mathematiker Hjalmar Mellin.

Geschichte[Bearbeiten]

Im Gegensatz zur Fourier- und zur Laplace-Transformation, die zum Lösen physikalischer Probleme entwickelt wurden, wurde die Mellin-Transformation in einem mathematischen Kontext entwickelt. Ein erstes Auftreten dieser Integraltransformation findet sich in einer Veröffentlichung von Bernhard Riemann, der sie zur Untersuchung seiner Zeta-Funktion einsetzte. Eine erste systematische Formulierung und Untersuchung der Mellin-Transformation und ihrer Rücktransformation geht auf den finnischen Mathematiker R. Hjalmar Mellin zurück. Im Bereich der speziellen Funktionen entwickelte er Methoden, um hypergeometrische Differentialgleichungen zu lösen und asymptotische Entwicklungen herzuleiten.[1]

Definition[Bearbeiten]

Die Mellin-Transformation einer auf der positiven reellen Achse definierten Funktion f \colon \R_+ \to \R ist definiert als der Integraloperator

M_f(s) := \int \limits_{0}^\infty f(t)t^{s-1}\mathrm{d}t

für komplexe Zahlen s, sofern dieses Integral konvergiert. In der Literatur findet man die Transformierte auch mit einem Normierungsfaktor \tfrac{1}{\Gamma(s)}, also

 \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty f(t)t^{s-1}\mathrm{d}t.

Dabei ist \Gamma die Gamma-Funktion.

Rücktransformation[Bearbeiten]

Unter den folgenden Bedingungen ist die Rücktransformation

 f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int \limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} M_f(s)x^{-s} \mathrm{d}s

von  M_f(s) zu  f(x) für jedes reelle  c mit  b > c > a > 0 möglich. Hierbei seien  a und  b zwei positive reelle Zahlen.

  • das Integral  M_f(s) = \int_0^\infty f(x)x^{s-1} \mathrm{d}x ist in dem Streifen  S = \{ s \in \mathbb{C} \ | \ a < \Re(s) < b\} absolut konvergent
  • M_f(s) ist in dem Streifen  S = \{ s \in \mathbb{C} \ | \ a < \Re(s) < b\} analytisch
  • der Ausdruck  M_f(c \pm it) strebt für  t \to \infty und jedem beliebigen Wert  c zwischen  a und b gleichmäßig gegen 0
  • die Funktion  f(x) ist auf der positiven reellen Achse stückweise stetig, wobei im Falle unstetiger Sprungstellen jeweils der Mittelwert der beidseitigen Grenzwerte genommen werden soll (Treppenfunktion)

Beziehung zur Fourier-Transformation[Bearbeiten]

Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Substituiert man nämlich im obigen Integral t = e^x, setzt man F(x) = f(e^x) und bezeichnet man die Fourier-Transformierte der Funktion F mit \widehat F, so ist

M_f(is) = \sqrt{2\pi}\widehat F(s).

Beispiel zur Dirichletreihe[Bearbeiten]

Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine Dirichletreihe f und eine Potenzreihe F zueinander in Beziehung setzen. Es seien

f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s} und F(z) = \sum_{n=1}^\infty a_nz^n

mit den gleichen a_n. Dann gilt

f(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm{d}t.

Setzt man hierin zum Beispiel alle a_n=1, so ist f die riemannsche Zetafunktion, und man erhält

\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int \limits_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^t-1}\mathrm{d}t.

Literatur[Bearbeiten]

  • M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
  • E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0828403245.
  • D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Jacqueline Bertrand, Pierre Bertrand, Jean-Philippe Ovarlez, Alexander D. Poularikas (Hrsg.): The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0849385957, Kapitel 11.1.