Pythagoras-Baum

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Ein Pythagoras-Baum ist eine besondere Art eines Fraktals.

Pythagoras-Baum

Das ursprüngliche Verfahren zum Erstellen eines Pythagoras-Baums basiert auf dem Satz des Pythagoras, in dem auf ein Quadrat zwei weitere, kleinere Quadrate im rechten Winkel angeordnet werden. Durch rekursives Aufrufen dieser Konstruktionsvorschrift wird ein Fraktal erzeugt, das im Grenzfall der Form eines Baumes ähnelt. Durch den rechten Winkel des eingeschlossenen Dreiecks bleibt die Gesamtfläche jeder Ebene gleich, daher ist die Fläche des Grundelementes (Stammes) genau so groß wie die Summe der Fläche aller äußeren Elemente (Blätter).

Pythagoras tree 1 1 13 Summer.svg

Konstruktion[Bearbeiten]

(Bild 1)
Bild 1
(Bild 2)
Bild 2
(Bild 3)
Bild 3
(Bild 4)
Bild 4

Aus einer Grundlinie wird ein Quadrat konstruiert. Auf diesem Grundelement (Stamm) wird auf der Oberseite ein Thaleskreis gezeichnet und dieser beliebig geteilt. Der entstehende Punkt wird mit dem Grundelement verbunden (Bild 1), so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Aus den beiden entstandenen Schenkeln des Dreiecks wird wieder jeweils ein Quadrat konstruiert (Bild 2), ein Thaleskreis aufgezeichnet, dieser geteilt, ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert (Bild 3) und so wieder zu einem Quadrat erweitert (Bild 4). Dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt.

Berechnungen am rechtwinkligen und gleichschenkligen Pythagorasbaum[Bearbeiten]

Höhe[Bearbeiten]

Grundkonstruktion eines Astes

Im Folgenden ist die Seitenlänge des ersten Quadrats (des „Stamms") a. Die Höhe des ersten (Basis-)Astes beträgt, wie man an nebenstehender Zeichnung sieht, 2a. Um die maximale Höhe zu ermitteln, genügt es Äste der abgebildeten Form aufeinander zu stellen. Jeder Ast hat die halbe Grundseite des vorigen Astes. Damit ist die Höhe des zweiten Astes a, die des dritten \frac{a}{2} usw. Die Gesamthöhe damit:

Hoehe = 2 a + a + \frac{a}{2}+ \frac{a}{4}+ \frac{a}{8} + \ldots = 2a \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \ldots \right)

Also:

Hoehe = 2a \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{i} = 2a \frac{1}{1-\frac{1}{2}}= 4a

Breite[Bearbeiten]

Der linke Ast entspricht einem querliegenden Baum mit der Grundseite \frac{a}{2}. Ebenso der rechte Ast. In der Mitte bleibt ein Stamm mit der Breite a und den beiden Hauptästen mit jeweils der Breite \frac{a}{2}. Damit:

Breite = \underbrace{4 \frac{a}{2}}_{\begin{array}{c}\scriptstyle{Hoehe\ linker} \\ \scriptstyle{querliegender\ Baum} \end{array}}  + \underbrace{4 \frac{a}{2}}_{\begin{array}{c} \scriptstyle{Hoehe\ rechter} \\ \scriptstyle{querliegender\ Baum} \end{array}} + a + \frac{a}{2}+ \frac{a}{2} = 6 a

Stammlänge[Bearbeiten]

Seitenlänge und Länge der Baumkrone

Zur Berechnung der Stammlänge – in nebenstehender Zeichnung rot – müssen nur die Seitenlängen der Quadrate addiert werden.

1. Quadrat: a

2. Quadrat: \frac{\sqrt{2}}{2} a

3. Quadrat: \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} a = \frac{1}{2} a

4. Quadrat: \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} a = \frac{\sqrt{2}}{4} a

usw.

Es kommt immer der Faktor \frac{\sqrt{2}}{2} hinzu. Wenn man die Nummerierung bei 0 beginnt, gilt:

Seitenlänge des i-ten Quadrats:  \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{i} a

Die Gesamtlänge der roten Linie beträgt also:

a \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{i} = a \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}
= \frac{2 a}{2-\sqrt{2}}= \frac{2 a (2+\sqrt{2}) }{4 - 2} = a \left( 2 + \sqrt{2}  \right) \approx 3{,}414214\ a

Länge der Baumkrone[Bearbeiten]

Rechts-links-rechts-Ast eines Pythagorasbaumes

Zur Berechnung der Länge der Baumkrone – in der Zeichnung blau – zuerst folgende Überlegungen: In die Ecken des Baumes kommt man, indem man die Äste abwechselnd links und rechts entlanggeht. Um die Länge der oberen horizontalen Linie zu berechnen, wird zuerst die Abweichung von der Stammmittellinie, die durch das Wachstum eines Rechts-links-Astes entsteht, berechnet.

Grundseite Abweichung von der
Mittellinie x_{i}
Erste Rechts-links-Kombination
(Quadrat, Dreieck, Quadrat, Dreieck – in der Zeichnung gestrichelt)
a x_{1}=\frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3}{4}a
Zweite Rechts-links-Kombination
(in der Zeichnung gepunktelt)
\frac{a}{2} x_{2}=\frac{3}{4} \frac{a}{2}
Dritte Rechts-links-Kombination \frac{a}{4} x_{3}=\frac{3}{4} \frac{a}{4}
i-te Rechts-links-Kombination
(Achtung: Umnummerierung: die erste ist nun die nullte!)
\left( \frac{1}{2}\right)^{i} a x_{i}=\frac{3}{4} \left( \frac{1}{2}\right)^{i} a

Die maximale Abweichung der „letzten“ Spitze von der ersten Mittellinie ist dann die Summe der einzelnen Abweichungen:

Abweichung = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^{i} a
                  = \frac{3}{4} a \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{i}
                  = \frac{3}{4} a \frac{1}{1-\frac{1}{2}}= \frac{3}{2} a

Ein Links-rechts-links-rechts-…-Ast weicht also maximal \frac{3}{2} a von der ersten Mittellinie ab. Das gleiche gilt für den gespiegelten Rechts-links-rechts-links-…-Ast. Die beiden oberen Ecken haben also den maximalen Abstand von 2 \frac{3}{2} a = 3 a. Dies ist die Länge der oberen horizontalen blauen Linie.

Die Längen der anderen blauen Linien kann man leicht berechnen. Die zweite blaue Linie entspricht der oberen horizontalen Line des Hauptbaumes usw.

Grundseite Baum Länge
Erste blaue Linie a 3 a
Zweite blaue Linie \frac{\sqrt{2}}{2} a 3 \frac{\sqrt{2}}{2} a
Dritte blaue Linie \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} a 3 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} a
i-te blaue Linie
(Achtung: Umnummerierung: die Erste ist nun die Nullte!)
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{i} a 3 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{i} a

Jede blaue Linie ist um das Dreifache länger als die zugehörige rote Linie. Damit ist auch die Gesamtlänge der blauen Linie das Dreifache der roten Linie: 3 a \left( 2 + \sqrt{2}  \right)

Umfang[Bearbeiten]

Wenn man den Baum einmal umrunden möchte, muss man zweimal die blaue und zweimal die rote Linie und die Linie, auf der der Baum steht, entlanggehen. Die obere blaue Linie ist hierbei doppelt, diese muss man also einmal abziehen:

Umfang = 2 \cdot \underbrace{3 a \left( 2 + \sqrt{2}  \right)}_{\scriptstyle{blau}} \underbrace{-3 a}_{ \begin{array}{c}\scriptstyle{doppelt\ gerechnete} \\ \scriptstyle{obere\ horizontale}\\ \scriptstyle{Firstlinie} \end{array}} + 2 \cdot \underbrace{a \left( 2 + \sqrt{2} \right)}_{\scriptstyle{rot}} \underbrace{+ a}_{\scriptstyle{Grundlinie}}
              = 2 \cdot a \left( 7 + 4 \sqrt{2}  \right) \approx 25{,}313708\ a

Abstand zum Rasen[Bearbeiten]

Abstand der „Blätter“ zum „Gras“

Damit man mit dem Rasenmäher bis zum Stamm fahren kann, muss man wissen, wie hoch die lichte Höhe unter dem Blattwerk des Baumes ist. Also: Wie weit ist es vom Rasen bis zu den ersten Blättern?

Bei einer Grundseite von  a ist die Gesamtbreite 6 a . Eine Seite des Baumes steht also \frac{5}{2} a über den Stamm hinaus (Länge der grünen Linie). Zur Berechnung der gesuchten lichten Höhe betrachtet man den dritten Ast – der erste horizontal wachsende Ast (oder: drittes Quadrat):

Die Grundseite dieses Teibaumes beträgt: \frac{a}{2} . Die Breite dieses Teilastes ist also 6 \frac{a}{2} = 3 a . Auch bei diesem Ast steht die Krone um den Faktor \frac{5}{2} über, also: \frac{5}{2}\frac{a}{2} = \frac{5}{4} a . Dieser dritte Teilast hat einen Abstand vom Rasen von \frac{3}{2} a . Die lichte Höhe ist dann die Differenz: \frac{3}{2} a -\frac{5}{4} a = \frac{a}{4}

Weitere Formen[Bearbeiten]

Da so ein Baum, der streng nach Pythagoras erzeugt wurde, sehr unnatürlich aussieht, kann natürlich auch von der Urform abgewichen werden.

Pythagoras tree.png


Pythagoras-Baum:
  • Rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke
  • Verschiedene Farben
Fraktaler Baum.png

Fraktal-Baum:
  • Freier Winkel
  • Keine Quadrate
Pythagoras baum color.png


Pythagoras-Baum:
  • Rechtwinklige Dreiecke
  • Verschiedene Farben
Pythagoras baum nicht rechtwinklig.png

Pythagoras-Baum:
  • Keine rechtwinkligen Dreiecke
  • Verschiedene Farben
Pythagoras baum color random.png

Pythagoras-Baum:
  • Zufällige Stammlängen und zufällige Stammteilungsverhältnisse
  • Rechtwinklige Dreiecke
  • Verschiedene Farben
Pythagoras baum color gleichschenklig.png

Pythagoras-Baum:
  • Gleichschenklige Dreiecke
  • Rechtwinklige Dreiecke
  • Verschiedene Farben
Pythagoras baum Filled.png

Pythagoras-Baum
SWPythaTree.png

SW Pythagoras-Baum

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Pythagoras-Baum – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien