Quantenzahl

Quantenzahlen dienen in der modernen Physik der Beschreibung von messbaren Größen, die an einem Teilchen, einem System oder an einem seiner Zustände bestimmt werden können. Sie werden über die Atomphysik und Teilchenphysik hinaus überall dort benutzt, wo die Quantenmechanik Anwendung findet. Eine Quantenzahl für eine bestimmte messbare Größe kann nur solchen Zuständen zugeordnet werden, in denen diese Größe mit einem wohldefinierten Wert vorliegt, sodass sich bei einer Messung mit Sicherheit genau dieser Wert zeigen würde. Die Quantenzahl zeigt dann an, welcher Wert gerade vorliegt.

Einführung

Anders als in der klassischen Physik grundsätzlich angenommen, haben in der Quantenmechanik nicht alle messbaren Größen in jedem Zustand einen wohlbestimmten Wert. Hat aber eine Messgröße in einem Zustand einen wohlbestimmten Wert, dann wird er als Eigenzustand zu dieser Messgröße bezeichnet und ihr Wert als der jeweilige Eigenwert. Nur einem solchen Eigenzustand kann eine Quantenzahl zugeschrieben werden, denn sie gibt Auskunft, welcher Eigenwert bei ihm vorliegt. Die entsprechende Messung am Teilchen bzw. am System würde dann mit Gewissheit diesen Eigenwert liefern (abgesehen von eventuellen Messfehlern). Da sich an sehr kleinen Systemen oder Teilchen viele Größen nur mit diskreten Eigenwerten zeigen (z.B. Energieniveaus eines Atoms), kann man diese Werte einfach durchnummerieren. Einem Eigenzustand wird als Quantenzahl einfach die laufende Nummer des betreffenden Eigenwerts in dieser Auflistung zugeschrieben. Wenn es sich um eine Größe handelt, deren Eigenwerte immer ein Vielfaches einer natürlichen Einheit sind (z.B. hat der Drehimpuls als Einheit das plancksche Wirkungsquantum $\hbar$), dann gibt die Quantenzahl den Zahlenfaktor vor dieser Einheit an. In Ausdehnung auf Größen, die auch in der Quantenmechanik kontinuierlich verteilte Eigenwerte zeigen (wie Ort und Impuls), wird der vorliegende Eigenwert selbst als Quantenzahl bezeichnet. Stets ist aber zu beachten, dass nach der Quantenmechanik in den meisten möglichen Zuständen eines Teilchens oder Systems für die meisten messbaren Größen gar kein eindeutiger Messwert vorherzusagen ist. Für diese Größe sind die Zustände dann keine Eigenzustände und haben nicht die betreffenden Quantenzahlen. Allenfalls findet man die Redeweise, hier habe eine Quantenzahl einen „unscharfen Wert“ oder sei „keine gute Quantenzahl“. Die Symbole für die Quantenzahlen sind im Prinzip frei wählbar, werden aber meist einheitlich gewählt: z. B. $\,n$ für die Energie, $\,l$ für den Bahndrehimpuls, $\,s$ für den Spin, kleine Buchstaben für die Zustände eines einzelnen Teilchens, große Buchstaben für zusammengesetzte Systeme.

Vollständiger Satz von Quantenzahlen

Ein vollständiger Satz von Quantenzahlen charakterisiert einen Zustand so vollständig, wie es die Quantenmechanik zulässt. D. h. dieser Satz enthält die Information über die Werte sämtlicher Messgrößen, die man am System messen könnte, ohne dass eine der Messungen das Vorliegen des genauen Werts einer anderen Messgröße zerstören würde. So kann z. B. eine Quantenzahl für den Impuls nie zusammen mit einer Quantenzahl für den Ort auftreten, denn die Möglichkeit, gleichzeitig sichere Messergebnisse für Ort und Impuls vorherzusagen, ist durch die heisenbergsche Unschärferelation ausgeschlossen.

Gebundenes Elektron im Wasserstoff-Atom

Nachstehend werden im Einzelnen die Quantenzahlen beschrieben, die zur vollständigen Beschreibung des einfachsten Atoms, des Wasserstoffatoms, gebraucht werden. Die Eigenzustände des gebundenen Elektrons und seine Wellenfunktion im Wasserstoffatom werden durch vier Quantenzahlen beschrieben:

als Zustandsvektor: $| \psi\rangle =| n, l, m_l, m_s \rangle$, bzw. als Wellenfunktion: $\psi_{ n\, l\, m_l\, m_s} (\vec r, t)$.

Dieser Satz von Quantenzahlen wurde von Wolfgang Pauli erstmals 1924 gefunden. Da sie jeweils einen einzigen Zustand eines Elektrons festlegen, konnte er das nach ihm benannte Pauli-Prinzip so formulieren: Keine zwei Elektronen des Atoms können in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen.

Hauptquantenzahl

Die Hauptquantenzahl $\,n$ beschreibt die Schale, zu der der Zustand des Elektrons gehört. Sie kann beliebige natürliche Zahlenwerte größer als Null annehmen:

$\,n =1,\,2\,,3\,\ldots$

Die Schalen werden auch der Reihe nach mit K-,L-,M-...Schale bezeichnet. In der einfachsten quantenmechanischen Berechnung (Schrödingergleichung mit Coulomb-Potential) liegt das Energieniveau damit schon fest:

$E_n = - \frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 } \cdot \frac{1}{n^2} = -E_\mathrm{R} \frac{1}{n^2}$

mit der Rydberg-Energie $E_\mathrm{R} \approx 13{,}6\,\mathrm{eV}$. Große $\,n$ entsprechen immer höheren Anregungen, bei sehr großem $\,n$ spricht man von Rydberg-Atomen.

Nebenquantenzahl

Die Nebenquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl $\,l$ kennzeichnet die Form des Orbitals in einem Atom. Bei gegebenem $\,n$ kann ihr Wert jede kleinere natürliche Zahl sein: $l = 0,\, 1,\,2\,\,\ldots<n$.

Der Name "Drehimpulsquantenzahl" verweist darauf, dass $l(l+1)\hbar^2$ der Eigenwert des Quadrats des Drehimpulsoperators ${\hat \vec l}\;^2$ ist.

Im laufenden Text wird der Wert von $\,l$ oft durch bestimmte, historisch festgelegte Buchstaben gekennzeichnet: s für $\,l =0$ (z. B. „s-Zustand“), p für $\,l =1$ , d für $\,l=2$, f für $\,l =3$, g für $\,l=4$, und entsprechend alphabetisch weiter. Die gleiche Bezeichnungsweise wird z. B. auch für die Partialwellen bei Streuung, Kernreaktionen usw. verwendet.

Magnetische Quantenzahl des Drehimpulses

Die magnetische Quantenzahl des Drehimpulses wird mit $\,m_l$ bezeichnet und beschreibt die räumliche Orientierung des Elektronen-Bahndrehimpulses, genauer: die Größe seiner z-Komponente in Einheiten $\hbar$. Sie kann betragsmäßig nicht größer als die Nebenquantenzahl $\,l$ sein, aber auch negative Werte annehmen:

$m_l =\,-l,\, -(l-1),\, \ldots\, , (l-1),\, l$

Sie heißt Magnetquantenzahl, weil die zusätzliche potentielle Energie in einem Magnetfeld in z-Richtung (Zeeman-Effekt) durch sie charakterisiert wird. Bei $\,m_l=0$ ist die z-Komponente Null, d.h. keine zusätzliche Energie; bei maximaler z-Komponente $\,m_l=\pm l$ ist der Drehimpuls parallel oder antiparallel zur z-Achse ausgerichtet, d. h. maximale zusätzliche Energie).

Spinquantenzahl

→ Hauptartikel: Spin

Die Spinquantenzahl $\,m_s$ des Elektrons beschreibt die Orientierung seines Spins zur z-Achse. Da der Spin des Elektrons die Quantenzahl $s = \tfrac{1}{2}$ hat, gibt es hier nur zwei mögliche Werte: $s_z = \pm \tfrac{1}{2}$

Weitere Quantenzahlen

Neben den Isospin- und Strangeness-Quantenzahlen bei Elementarteilchen sind einige andere Beispiele für weitere Quantenzahlen:

Gesamtdrehimpulsquantenzahl

Die Gesamtdrehimpulsquantenzahl $\,j$ beschreibt den Gesamtdrehimpuls, der die Summe aus zwei oder mehr einzelnen Drehimpulsen ist. Z. B. hat das Elektron einen Bahndrehimpuls (Quantenzahl $\,l$) und einen Spin (Quantenzahl $\,s=\tfrac{1}{2}$). Daher können sich Eigenzustände zur Gesamtdrehimpulsquantenzahl $\,j=l+\tfrac{1}{2}$ und Zustände zu $\,j=l-\tfrac{1}{2}$ bilden, weiter zu unterscheiden durch die magnetischen Quantenzahlen $\,m_j\;[=-j,\,-(j-1),\,\dots\,,\,j]$. In solchen Zuständen sind $\,l$ und $\,s$ noch gute Quantenzahlen, $\,m_l$ und $\,m_s$ aber nicht mehr. Bei mehreren Elektronen im Atom kann man auch die Zustände bilden, in denen die Summe der Bahndrehimpulse einen wohldefinierten Gesamtbahndrehimpuls (Quantenzahl $\,L$) bilden und die Summe der Spins einen Gesamtspin (Quantenzahl $\,S$). Diese Zustände können sich weiter zu Zuständen mit wohldefiniertem Gesamtdrehimpuls der Atomhülle (Quantenzahl $\,J=(L+S),\,(L+S-1), \,\dots\,,\, |L-S|$) koppeln. Dieses Kopplungsschema heißt LS-Kopplung und beschreibt in guter Näherung die Energieeigenzustände leichter Atome.

Kernspinquantenzahl

→ Hauptartikel: Kernspin

Die Kernspinquantenzahl (auch Kernspin genannt, typisches Symbol $\,I$) beschreibt den Drehimpuls eines ganzen Atomkerns. Dieser setzt sich aus den Spins und den Bahndrehimpulsen der einzelnen Neutronen und Protonen zusammen, weshalb $\,I$ ganz- oder halbzahlige Werte annehmen kann.

Radiale Quantenzahl

Die radiale Quantenzahl $\,n_r$ ist die Anzahl der Nullstellen („Knoten“) im radialen Anteil der Wellenfunktion eines gebundenen Teilchens. Für die Elektronenzustände im Atom ist z. B. $\,n_r=0$ für die $\,(n=1)$-Schale, $\,n_r=0,\,1$ für die $\,(n=2)$-Schale, $\,n_r=0,\,1,\,2$ für die $\,(n=3)$-Schale usf. Die Hauptquantenzahl ergibt sich immer aus $\,n = n_r + l +1$.

Siehe auch

• Elektronenkonfiguration
• Orbitale

Literatur

• Haken, Wolf: Atom- und Quantenphysik. 8. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-02621-5
• Eidenberger, Mag. Ronald: "Basismodul Chemie", Seiten 55 und 56

Weblinks

• Quantenzahlen (auf S. 55f erklärt)