Restklasse

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Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl a modulo einer Zahl m die Menge aller Zahlen, die bei Division durch m denselben Rest lassen wie a.

Definition[Bearbeiten]

Es sei m eine von 0 verschiedene ganze Zahl und a eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von a modulo m, geschrieben

a + m \mathbb{Z},

ist die Äquivalenzklasse von a bezüglich der Kongruenz modulo m, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch m den gleichen Rest wie a ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen b, die sich aus a durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von m ergeben:

a + m \mathbb{Z} = \{ b\mid b=a+km\ \, \mathrm{f\ddot ur\ ein}\ \, k\in\mathbb Z\} = \{ b \mid b \equiv a \; (\bmod \; m) \}.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten 0,1,2,\dots,m-1.

Die Menge aller Restklassen modulo m schreibt man häufig als \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} oder \mathbb{Z}_m. Sie hat m Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn m eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo m heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu m sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten (\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times (oder \mathbb{Z}_m^*) im Restklassenring \mathbb Z/m\mathbb Z; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
  • Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
  • Die Restklasse von 0 modulo m ist die Menge der Vielfachen von m.
  • Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge \{\ldots-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\}.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Ist A ein Ring und I\subseteq A ein Ideal, so heißen Mengen der Form

a+I=\{a+i\mid i\in I\}

Restklassen modulo I. Ist A kommutativ, oder ist I ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge A/I der Restklassen modulo I eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo I. A/I wird durch Elemente in A repräsentiert, wobei die Restklassen a+I und b+I in A/I übereinstimmen, falls a-b \in I gilt.