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Gegeben sei ein affiner Raum über einem Körper mit . Ein vollständiges Vierseit in (engl. manchmal als quadrilateral[4] oder eher als complete quadrilateral[5][6] bezeichnet) besteht aus vier verschiedenen Geraden, die sich paarweise schneiden, von denen jedoch keine drei durch ein und denselben Punkt von gehen[7][8].
Die Ecken des vollständigen Vierseits
Die paarweisen Schnittpunkte der vier Ausgangsgeraden werden als Ecken des vollständigen Vierseits bezeichnet und bilden die Eckenmenge. Dabei gehört zu jeder 2-Menge von Geraden umkehrbar eindeutig die Ecke von , was insgesamt zu
-Ecken führt.
Weiter liegen auf jeder Geraden genau drei Ecken, nämlich denjenigen Ecken, welche als Schnittpunkte von mit den übrigen Geraden entstehen.
Darüber hinaus gehört zu jeder Ecke umkehrbar eindeutig die Gegenecke oder Komplementärecke, welche man dadurch gewinnt, dass man das zugehörige Komplement bildet und dann die zu gehörige Gegenecke als .
Die Eckenmenge lässt sich demnach schreiben wie folgt:
mit
Führt man diese Überlegung mit einer der drei von verschiedenen Geraden statt mit durch, so erhält man eine entsprechend andere, aber gleichwertige Darstellung der Eckenmenge. Der Zusammenhang zwischen Ecken und Gegenecken ist von der Art der Darstellung der Eckenmenge unberührt und allein von der vier Ausgangsgeraden abhängig.
Dies ist für die Ecken unmittelbar klar. Wegen enthält dann aber auch die Gerade und damit schließlich .
ist also unabhängig von der Art der Darstellung der Eckenmenge die zum vollständigen Vierseit gehörige und von diesem erzeugte Ebene innerhalb .
Die Diagonalen des vollständigen Vierseits und deren Mittelpunkte
Nach Konstruktion liegen die -Ecken und auf keiner der vier gegebenen Geraden . Verbindet man also jede Ecke von mit der Gegenecke , so erhält man zu den vier gegebenen Geraden drei weitere Geraden hinzu. Dies sind die Diagonalen des vollständigen Vierseits :
Zu jeder der drei Diagonalen existiert unter den Punkten, die mit inzidieren, jeweils ein ausgezeichneter Punkt . Diesen Punkt nennt man den Mittelpunkt der Diagonalen oder kurz die Mitte der Diagonalen [10][11]. Der Mittelpunkt der Diagonalen erfüllt die Gleichungen:
und
und ist dadurch eindeutig bestimmt.
Von diesen drei Mittelpunkten der Diagonalen des vollständigen Vierseits handelt der Satz von Gauß.
In einem affinen Raum über einem Körper der Charakteristik liegen die Mittelpunkte der Diagonalen eines vollständigen Vierseits stets auf einer Geraden, der sogenannten Gauß-Geraden.
Der Fall der euklidischen Ebene
Der Satz gilt insbesondere für den Fall, dass , also die Koordinatenebene über ist. Ein besonders hervorzuhebender Fall liegt hierbei dann vor, wenn ist, also der Körper der reellen Zahlen vorliegt und wenn dann der gegebene affine Raum mit der euklidischen Ebene zusammenfällt.
Unter diesen Gegebenheiten lässt sich der Satz dann so aussprechen[14]:
Wenn vier Geraden so in der euklidischen Ebene liegen, dass keine drei davon durch einen Punkt gehen, so liegen die Mitten der zugehörigen Diagonalen stets auf einer Geraden.
Literatur
Claire Fisher Adler: Modern geometry : an integrated first course. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York [u.a.] 1967.
H. F. Baker: An Introduction to Plane Geometry. Reprint. Chelsea Publishing Company, Bronx, NY 1971, ISBN 0-8284-0247-7.