Satz von Mather-Thurston

In der Mathematik ist der Satz von Mather-Thurston ein Lehrsatz aus der geometrischen Topologie. Er ist nach John Mather und William Thurston benannt.

Er besagt, dass man für jede Mannigfaltigkeit $M$ einen Isomorphismus von Kohomologiegruppen

$H^{*}({\text{Homeo}}(M);\mathbb {Z} )\cong H^{*}(B{\text{Homeo}};\mathbb {Z} )$

hat. Dabei ist die linke Seite die Gruppenkohomologie der Gruppe ${\text{Homeo}}(M)$ der Homöomorphismen von $M$ und die rechte Seite die Kohomologie des klassifizierenden Raums $B{\text{Homeo}}(M)$ dieser Homöomorphismengruppe mit der Kompakt-Offen-Topologie. Der Isomorphismus wird von der stetigen Abbildung ${\text{Homeo}}(M)^{\delta }\to {\text{Homeo}}(M)$ induziert, wobei die linke Seite die Homöomorphismengruppe mit der diskreten Topologie ist.

Im Fall orientierter Mannigfaltigkeiten erhält man entsprechend für die Gruppe ${\text{Homeo}}^{+}(M)$ der orientierungstreuen Homöomorphismen einen Isomorphismus $H^{*}({\text{Homeo}}^{+}(M);\mathbb {Z} )\cong H^{*}(B{\text{Homeo}}^{+}(M);\mathbb {Z} )$. Beispielsweise für $M=S^{1}$, den Kreis, ist ${\text{Homeo}}^{+}(S^{1})$ homotopie-äquivalent zu $S^{1}=U(1)$, also $H^{*}(B{\text{Homeo}}^{+}(S^{1});\mathbb {Z} )\cong H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )\cong H^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} \left[e\right]$, und man erhält dass $H^{*}({\text{Homeo}}^{+}(S^{1});\mathbb {Z} )$ von der Euler-Klasse $e\in H^{2}({\text{Homeo}}^{+}(S^{1});\mathbb {Z} )$ erzeugt wird.

Eine andere Formulierung des Satzes von Mather-Thurston besagt, dass für $M=\mathbb {R} ^{p}$ und alle $r\geq 0$ die Abbildung $H_{*}({\text{Diff}}_{K}^{r}(\mathbb {R} ^{p});\mathbb {Z} )\to H_{*}(\Omega ^{p}(B\Gamma _{p}^{r});\mathbb {Z} )$ ein Isomorphismus von Homologiegruppen (aber keine Homotopie-Äquivalenz) ist. Hier ist ${\text{Diff}}_{K}^{r}(\mathbb {R} ^{p})$ die Gruppe der $C^{r}$-Diffeomorphismen mit kompaktem Träger, $B\Gamma _{p}^{r}$ der klassifizierende Raum der Haefliger-Strukturen (bezüglich der diskreten Topologie) und $\Omega ^{p}(B\Gamma _{p}^{r})$ sein $p$-fach iterierter Schleifenraum.

Aus dem Satz von Mather-Thurston folgt beispielsweise, dass $B\Gamma _{p}^{\infty }$ ein $(p+1)$-zusammenhängender Raum ist. Die Topologie des klassifizierenden Raumes $B\Gamma _{p}^{\infty }$ ist ein wichtiges Hilfsmittel zum Verständnis der Kodimension-$p$-Blätterungen auf Mannigfaltigkeiten.

Literatur

• W. Thurston: Foliations and groups of diffeomorphisms, Bull. Amer. Math. Soc. 80, 304–307
• T. Tsuboi: Homology of diffeomorphism groups, and foliated structures, Sūgaku 36(4), 320–343
• T. Tsuboi: Classifying spaces for groupoid structures, Contemp. Math. 498, 67–81
• S. Nariman: A local to global argument on low dimensional manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 373(2), 1307–1342