Flächenträgheitsmoment

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Das Flächenträgheitsmoment, auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet, ist eine in der Festigkeitslehre verwendete, aus dem Querschnitt eines Balkens abgeleitete geometrische Größe, die zu dessen Verformungs- und Spannungs-Berechnung bei Biege- und Torsions-Beanspruchung eingeführt wurde. Die verwendeten Formeln enthalten das Flächenträgheitsmoment neben anderen Größen, wie solchen für die Belastung und für die Eigenschaften des verwendeten Werkstoffs.

Mit Hilfe des Flächenträgheitsmomentes werden auch diejenigen Belastungen berechnet, deren Überschreiten zum Knicken von Stäben oder Beulen von Schalen führt.

Das Flächenträgheitsmoment darf nicht mit dem Trägheitsmoment, das die Trägheit eines rotierenden Körpers gegenüber einer Winkelbeschleunigung charakterisiert, verwechselt werden.

Arten[Bearbeiten]

symmetrische und unsymmetrische Querschnitte eines Balkens, der beispielsweise einseitig eingespannt (1 und 2, Kragträger) auf Biegung (3) oder Torsion (4) beansprucht wird.

axiales Flächenträgheitsmoment[Bearbeiten]

Mit dem axialen Flächenträgheitsmoment Ia wird die Querschnitts-Abhängigkeit der Verbiegung eines Balkens unter Belastung zusammenfassend beschrieben. Die Verbiegung und die im Querschnitt entstehenden inneren Spannungen sind umso kleiner, je größer das axiale Flächenträgheitsmoment ist. Das wesentlichste Maß im Querschnitt ist dabei die Ausdehnung in der Richtung der angreifenden Kraft. Im nebenstehenden Bild ist dargestellt, dass eine vertikale Last einen Balken weniger verbiegt, wenn er hochkant anstatt flach angeordnet ist (Vergleich zwischen den Teilbildern 1 und 2).

polares Flächenträgheitsmoment[Bearbeiten]

Mit dem polaren Flächenträgheitsmoment Ip wird die Querschnitts-Abhängigkeit der Verwindung (Torsion) eines Balkens unter Belastung zusammenfassend beschrieben. Die Torsion und die im Querschnitt entstehenden inneren Spannungen sind umso kleiner, je größer das polare Flächenträgheitsmoment ist. Das wesentlichste Maß im Querschnitt ist dabei die radiale Ausdehnung (R im Teilbild 4 der nebenstehenden Abbildung).

biaxiales Flächenträgheitsmoment[Bearbeiten]

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment, auch als Flächendeviationsmoment, Deviationsmoment, Flächenzentrifugalmoment oder Zentrifugalmoment bezeichnet, wird zur Berechnung der Verformung und der Spannungen von und in belasteten asymmetrischen Profilen (Teilbild 3 in nebenstehender Abbildung) benutzt. Analog gilt: bei asymmetrischer Belastung symmetrischer oder beliebiger Profile.

Berechnung[Bearbeiten]

Einheiten[Bearbeiten]

Die Flächenträgheitsmomente werden üblicherweise in m4 angegeben (SI-Einheiten). Im veralteten, in den USA aber noch gebräuchlichen Einheitensystem werden sie normalerweise in in4 notiert.

axiales Flächenträgheitsmoment[Bearbeiten]

Die axialen Flächenträgheitsmomente lassen sich durch diese Gleichungen beschreiben:

I_{y} = \int_{A} z^2 \ \mathrm dA,     [I] = m4
  • z = senkrechter Abstand der y-Achse zum Element dA
I_{z} = \int_{A} y^2 \ \mathrm{d}A,     [I] = m4
  • y = senkrechter Abstand der z-Achse zum Element dA

Beide Größen können nur positive Werte annehmen.

polares Flächenträgheitsmoment[Bearbeiten]

Das polare Flächenträgheitsmoment setzt sich aus den beiden Flächenträgheitsmomenten I_y und I_z zusammen:

I_P = {\int_{A} r^2 \ \mathrm{d}A } = I_{y} + I_{z},     [I] = m4

biaxiales Flächenträgheitsmoment[Bearbeiten]

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment wird durch diese Gleichung beschrieben:

I_{zy} = I_{yz} = - \int_{A} zy \ \mathrm{d}A,     [I] = m4

Diese auch Deviations- oder Zentrifugalmoment genannte Größe ist gleich Null, wenn entweder die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist. Die zugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen dann Hauptträgheitsmomente, sie nehmen in diesem Falle extremale Werte an. Im Gegensatz zu den axialen und zum polaren Flächenträgheitsmoment kann diese Größe sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Neben dieser Definition mit negativem Vorzeichen wird je nach Literatur auch eine Definition mit positivem Vorzeichen verwendet, dies ist in allen Formeln, die das Deviationsmoment verwenden zu berücksichtigen.

Satz von Steiner[Bearbeiten]

Alle hier genannten Flächenträgheitsmomente werden auf einen speziellen Punkt, nämlich den Flächenschwerpunkt (Flächenmittelpunkt) bezogen. Für alle anderen Punkte können die Flächenträgheitsmomente mit dem Steinerschen Satz berechnet werden.

Der Satz von Steiner besagt, dass sich das Flächenträgheitsmoment einer beliebigen Querschnittsfläche zusammensetzt aus den Flächenträgheitsmomenten in den Flächenmittelpunkten der einzelnen Teilflächen und dem Produkt aus dem Quadrat des Abstandes z von Schwerachse-Gesamtfläche zu Schwerachse-Teilfläche und Teilfläche A. Ein Anwendungsbeispiel ist die I-Form. Die Flächenträgheitsmomente der drei rechteckigen Teilflächen, nämlich der beiden horizontalen Flansche und des vertikalen Stegs, lassen sich über die unten angegebenen Formeln bestimmen und für die vertikale z-Achse zu I_{zz}^* einfach summieren, denn alle Schwerpunkte der Teilflächen liegen auf der gemeinsamen Schwerachse z der Gesamtfläche. Das Flächenträgheitsmoment I_{yy}^* bezüglich der y-Achse setzt sich ebenfalls aus den drei Summanden plus dem Steiner'schen Anteil der beiden Flansche zusammen.

I_{yy}^* = I_{yy} + z_s^2 \cdot A
I_{zz}^* = I_{zz} + y_s^2 \cdot A
I_{yz}^* = I_{zy}^* = I_{yz} - y_s z_s \cdot A

Die Formeln sind nur gültig, wenn auf der rechten Seite der Gleichung die Flächenträgheitsmomente stehen, die sich auf ein Koordinatensystem im Flächenmittelpunkt beziehen, während die Flächenträgheitsmomente auf der linken Seite für ein beliebiges (dazu parallel liegendes) Koordinatensystem gelten.

Trägheitsmomente beliebiger geschlossener Polygone können mit folgenden Formeln berechnet werden, wenn die Punkte gegen den Uhrzeigersinn eingegeben werden. Der Koordinatenursprung ist beliebig, die Trägheitsmomente beziehen sich auf den Schwerpunkt. Das Vorzeichen des Deviationsmoments I_{yz} ist konform zu den Formeln zur Koordinatentransformation. Das Polygon hat n-1 Punkte und beginnt mit Punkt 1 und endet mit Punkt n, welcher identisch Punkt 1 ist.

I_{yy} = \frac{1}{12} \sum_{i = 1}^{n-1} ( z_i^2 + z_i z_{i+1} + z_{i+1}^2 ) \cdot a_i \,
I_{zz} = \frac{1}{12} \sum_{i = 1}^{n-1} ( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 ) \cdot a_i \,
I_{yz} = -\frac{1}{24} \sum_{i = 1}^{n-1} ( y_i z_{i+1} + 2 y_i z_i + 2 y_{i+1} z_{i+1} + y_{i+1} z_i ) \cdot a_i \,
 a_i = y_i z_{i + 1} - y_{i + 1} z_i \,

Hauptträgheitsmomente und verdrehte Trägheitsmomente[Bearbeiten]

I_{yy}^* = 1/2 ( I_{yy} + I_{zz}) + 1/2 ( I_{yy} - I_{zz}) \cdot \cos(2 \cdot \phi ^*) + I_{yz}\sin(2 \cdot \phi ^*),
I_{zz}^* = 1/2 ( I_{yy} + I_{zz}) - 1/2 ( I_{yy} - I_{zz}) \cdot \cos(2 \cdot \phi ^*) - I_{yz}\sin(2 \cdot \phi ^*),
I_{yz}^* =  1/2 ( I_{yy} - I_{zz}) \cdot \sin(2 \cdot \phi ^*) - I_{yz} \cdot \cos(2 \cdot \phi ^*) ,
 \phi ^* = 1/2 \cdot \mathrm{arctan} \frac{ 2 \cdot I_{yz}} {I_{zz}-I_{yy}},

Mit Hilfe dieser Formeln kann man die zugehörigen Trägheitsmomente einer Fläche berechnen, wenn die Koordinatenachsen der Fläche um einen beliebigen Winkel  \phi verdreht werden. Neben dem Winkel müssen auch die Hauptträgheitsmomente  I_{yy} und  I_{zz} gegeben sein. Da in früheren Jahren noch keine zuverlässigen Rechenmaschinen zur Verfügung standen, wurde ein grafisches Verfahren von Christian Otto Mohr angegeben. Der Mohrsche Trägheitskreis ist noch in vielen Lehrbüchern über die Technische Mechanik zu finden. Eine praktische Anwendung finden die verdrehten Flächenträgheitsmomente bei der Berechnung von Spannungen, wenn bei der Biegung das belastende Biegemoment nicht in die Richtung eines der beiden Hauptträgheitsmomente fällt.

Abgeleitete Größen[Bearbeiten]

Widerstandsmoment[Bearbeiten]

Das Widerstandsmoment W ist nötig, um die am Querschnitts-Rand auftretende größte Beanspruchung (Spannung) zu bestimmen. Es ist der Quotient aus dem Flächenträgheitsmoment und dem Abstand a_{\max} des Randes von der neutralen Faser:

W := \frac{I}{a_{\max}}

Flächenträgheitsradius[Bearbeiten]

Für geometrisch ähnliche Bauteile (z. B. Rechtecke mit gleichem Breiten/Höhen-Verhältnis) lässt sich auch der Flächenträgheitsradius mit der Dimension [Meter] definieren, mit dem man Körper vergleichen kann, die im Sinne des Flächenmomentes 2. Grades ähnlich sind:

i_{y} := \sqrt{I_{y} \over A}; \qquad i_{z} := \sqrt{I_{z} \over A}
i_{P} := \sqrt{I_{P} \over A}

Der Flächenträgheitsradius wird oft „Trägheitsradius“ genannt, was aber Verwechslungsgefahr zum Streumassenradius birgt. Außerdem ist der Flächenträgheitsradius im Schlankheitsgrad  \lambda enthalten.

Flächensteife / Flächensteifigkeit[Bearbeiten]

Im Flächenträgheitsradius ist die selten verwendete Flächensteife, auch Flächensteifigkeit genannt, enthalten. Die Flächensteife besitzt kein Formelzeichen und ist das Quadrat des Trägheitsradius bzw. der Quotient aus Flächenträgheitsmoment I und Querschnittsfläche A:

\mathrm{Fl\ddot{a}chensteife} := \frac{I}{A}

Sowohl Flächensteife als auch Flächenträgheitsradius sollten für eine gute Materialausnutzung möglichst groß sein. Dies führt jedoch zu immer größeren, dünnwandigeren Objekten, die dann zunehmend beulgefährdet sind.

Beispiele[Bearbeiten]

Bezugsachsen und Bezeichnungen bei ausgewählten Querschnitten

Das Polare Trägheitsmoment 2. Grades ist  I_p = I_y + I_z, sofern der Bezugspunkt des polaren Flächenmomentes im Schnittpunkt der y- und z-Achse liegt.

Nr Fläche Axiales Flächenmoment
2. Grades um y- und z-Achse
Bemerkungen
1: Rechteck A = {b \cdot h } I_y = {b \cdot h^3 \over 12} = A \cdot \frac {h^2} {12}

 I_z = {h \cdot b^3 \over 12} = A \cdot \frac {b^2} {12}

Das Quadrat kann als Spezialfall des Rechtecks mit b = h berechnet werden
2:Dreieck A = \frac {a \cdot h}{2} I_y = \frac {a \cdot h^3}{36} = \frac {A \cdot h^2}{18}

I_z = \frac {h \cdot a^3}{48} = \frac {A \cdot a^2}{24}

Das Dreieck ist nur um die z-Achse symmetrisch
3:Kreisring A = \pi \cdot (R^2 - r^2) I_y = I_z = {\pi \over 4} \cdot (R^4 - r^4) = {A \over 4} \cdot (R^2 + r^2) Der Kreis kann als Spezialfall des Kreisrings mit r = 0 berechnet werden.
4:Ellipsenring A = \pi \cdot (A \cdot B - a \cdot b) I_y = \frac {\pi}{4} \cdot (A \cdot B^3 - a \cdot b^3)

I_z = \frac {\pi}{4} \cdot (A^3 \cdot B - a^3 \cdot b)

Das Verhältnis  n = A/B = a/b \geq 1 ist das Verhältnis der halben Achsen des Ellipsen­ringes und muss bei der Berechnung des polaren Flächen­momentes für die Ellipse am Innen­rand gleich dem Verhältnis der Ellipse am Außenrand sein.

Die Ellipse kann als Spezialfall des Ellipsen­ringes mit a = b = 0 betrachtet werden.

5: Symmetrisches Trapez A = (b_1+b_2) \cdot \frac{h}{2} I_y = h^3 \cdot \frac {(b_1 + b_2)^2 + 2 \cdot b_1 \cdot b_2}{36 \cdot (b_1 + b_2)}

I_{z} = \frac {h}{48} \cdot (b_1 + b_2) \cdot (b_1^2 + b_2^2)

6: Regelmäßiges n-Eck A = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan \frac{\pi}{n}} I_y = \frac {n}{96} \cdot a^4 \cdot \frac{2 + \cos \alpha}{(1 - \cos \alpha)^2} \cdot \sin \alpha I_y ist um alle Achsen gleich
7: Kastenprofil A = H \cdot B - h \cdot b I_{y} = \frac{1}{12} \cdot (B \cdot H^3 - b \cdot h^3)

I_{z} = \frac{1}{12} \cdot (B^3 \cdot H - b^3 \cdot h) -(nur für Profil 7; für Profil 8 und 9 gelten andere Formeln)

8: I-Träger

(Doppel-T-Träger)

9: C-Profil



weitere Beispiele aus dem Lexikon der gesamten Technik:


Beispiel gerechnet: Flächenträgheitsmoment eines Kreises mit Radius R

Skizze

I_{p} = \int\limits_{A} r^{2} \cdot dA =
= \int\limits_{0}^R r^{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot dr =
= 2 \cdot \pi \cdot \int\limits_{0}^R r^{3} \cdot dr = 2 \cdot \pi \cdot \frac{r^{4}}{4} \Big|_0^R = \frac{\pi}{2} \cdot R^{4}

Für den Kreis gilt: I_{x} = I_{y}
Allgemein gilt:  I_{p} = I_{x} + I_{y}
Daher ergibt sich das axiale Flächenträgheitsmoment eines Kreises zu:
 I_{x} = I_{y} = \frac{I_{p}}{2} = \frac{\pi}{4} \cdot R^{4}

Siehe auch[Bearbeiten]