Symmetrie (Physik)

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Unter einer Symmetrie (von altgriech. σύν syn „zusammen“, μέτρον métron „Maß“) versteht man in der Physik die Eigenschaften eines Systems, nach einer bestimmten Änderung (Transformation, insbesondere Koordinatentransformationen) unverändert zu bleiben (invariant zu sein). Wenn eine Transformation den Zustand eines Physikalischen Systems nicht verändert, werden diese Transformationen Symmetrieoperationen oder Symmetrietransformationen genannt.[1] Unterschieden werden diskrete Symmetrien (z. B. Spiegelsymmetrie), die nur eine endliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen, sowie kontinuierliche Symmetrien (z. B. Rotationssymmetrie), die eine unendliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen.

Die mathematische Beschreibung von Symmetrien erfolgt durch die Gruppentheorie.

Einordnung[Bearbeiten]

Symmetrien spielen in der modernen physikalischen Forschung eine große Rolle. Wird in einem Experiment eine Symmetrie festgestellt, so muss die zugehörige Theorie, die durch eine Lagrangefunktion oder ein „Wirkungsfunktional“ dargestellt wird, invariant unter einer entsprechenden Symmetrieoperation sein. In den in der Teilchenphysik häufig verwendeten Eichtheorien, d. h. Theorien die invariant unter einer Eichtransformation sind, legt diese Symmetrie weitgehend Art und relative Stärke der Kopplungen der Teilchen untereinander fest.[2]

Das sog. Noether-Theorem besagt z. B., dass jeder kontinuierlichen Symmetrie eine Erhaltungsgröße zugeordnet werden kann. So folgt beispielsweise aus der Zeittranslationsinvarianz die Energieerhaltung des Systems; in der Hamiltonschen Mechanik gilt auch die Umkehrung. Für ein System mit Energieerhaltung gilt also die Zeittranslationsinvarianz als zugehörige Symmetrie.

So wird in der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung die Eichsymmetrie durch den Higgs-Mechanismus gebrochen, wozu das einzige bisher noch nicht nachgewiesene Teilchen des Standardmodells der Elementarteilchenphysik, das Higgs-Boson, benötigt wird. Auch können Symmetriebrechungsvorgänge in Zusammenhang mit Phasenübergängen stehen, ähnlich wie beim ferromagnetischen Phasenübergang.

Übersicht[Bearbeiten]

Folgende Tabelle gibt einen Überblick über wichtige Symmetrien und ihre Erhaltungsgrößen. Sie sind aufgeteilt in kontinuierliche und diskrete Symmetrien.

Symmetrie Erhaltungsgröße Typ[3] Bedeutung
Kontinuierliche („fließende“) Symmetrien
Translationsinvarianz Impuls geometrisch Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Auch Homogenität des Raumes genannt.
Zeitinvarianz Energie geometrisch Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Auch Homogenität der Zeit genannt.
Rotationsinvarianz Drehimpuls geometrisch Der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Auch Isotropie des Raumes genannt.
Eichtransformationsinvarianz Ladungsdichte Ladung Die Gesamtladungsdichte in einem abgeschlossenen System ist konstant.
SU(2) des starken Isospins Baryonenzahl Ladung Die Baryonenzahl in einem abgeschlossenen System ist konstant.
SU(2) des schwachen Isospins Leptonenzahl Ladung Die Leptonenzahl in einem abgeschlossenen System ist konstant.
Diskrete („abzählbare“) Symmetrien
C, Ladungskonjugation Ladung Werden die Vorzeichen aller Ladungen eines Systems umgedreht, so ändert sich dessen Verhalten nicht.
P, Räumliche Spiegelung geometrisch Wird ein System räumlich gespiegelt, ändert sich sein physikalisches Verhalten nicht. Die schwache Wechselwirkung verletzt diese Symmetrie jedoch (siehe Symmetriebrechung).
T, Zeitumkehr geometrisch Ein System verhielte sich genauso, wenn die Zeit rückwärts abliefe.
CPT geometrisch Ein vollkommen inverses (sowohl räumlich, als auch zeitlich, als auch ladungsgespiegeltes) System verhielte sich genauso wie das nichtgespiegelte.

Transformationen[Bearbeiten]

Transformationen oder Symmetrieoperationen können wie die Symmetrien selbst stetig oder diskret sein. Ein Beispiel für eine stetige Transformation ist die Drehung eines Kreises um einen beliebigen Winkel. Beispiele für eine diskrete Transformation sind die Spiegelung einer zweiseitig symmetrischen Figur, die Drehung eines regelmäßigen Vielecks oder die Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von Gitterabständen. Die durchführbaren Transformationen bestimmen, um welchen Symmetrietyp es sich handelt. Während diskrete Symmetrien durch Symmetriegruppen (wie z.B. Punktgruppen und Raumgruppen) beschrieben werden, verwendet man zur Beschreibung stetiger Symmetrien Lie-Gruppen.

Transformationen, die nicht vom Ort abhängen nennt man globale Transformationen. Kann der Transformationsparameter an jedem Ort (abgesehen von Stetigkeitsbedingungen) frei gewählt werden, spricht man von lokalen Transformationen oder von Eichtransformationen. Physikalische Theorien, deren Wirkung invariant unter Eichtransformationen sind, heißen Eichtheorien. Alle fundamentalen Wechselwirkungen, Gravitation, die elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung werden nach heutigem Wissen durch Eichtheorien beschrieben.

Symmetriebrechung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Symmetriebrechung

Die Thermodynamik ist nicht zeitinvariant, da „umgekehrte Wärmeströme“ (von kalt zu heiß) nicht existieren und die Zunahme der Entropie eine Zeitrichtung auszeichnet:

Analog ist die Schwache Wechselwirkung nicht invariant unter Raumspiegelung, wie 1956 im Wu-Experiment gezeigt wurde. Das Verhalten von K-Mesonen und B-Mesonen ist nicht invariant unter gleichzeitiger Spiegelung und Ladungsaustausch. Ohne diese CP-Verletzung wäre beim Urknall gleich viel Materie wie Antimaterie entstanden und jetzt noch in gleichem Ausmaß vorhanden. Erst durch die CP-Symmetriebrechung kann also die Baryonenasymmetrie, das ist das heutige Überwiegen von Materie, erklärt werden.

Beim Übergang von klassischen zu Quantentheorien können zusätzliche Symmetriebrechungen erfolgen. Beispiele sind der Higgs-Mechanismus als dynamischer Symmetriebruch und die chirale Anomalie.[2]

Ein Beispiel aus der Chemie sind Spiegelbildisomere, die nicht nur gleich aussehen (bis auf die Spiegelung), sondern auch gleiche Energieniveaus und Übergangszustände haben. Aus einem prochiralen Molekül entstehen sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit bzw. Reaktionskinetik. Durch autokatalytische Reaktionsmechanismen, also spätestens mit der Entstehung des Lebens, ist jedoch die Spiegelbildsymmetrie spontan gebrochen, siehe Chiralität (Chemie)#Biochemie.

Symmetrisches Potential[Bearbeiten]

Ein wichtiges Beispiel einer Symmetrie ist ein kugelsymmetrisches oder rotationssymmetrisches Potential, wie das elektrische Potential einer Punktladung (z. B. ein Elektron) oder das Gravitationspotential einer Masse (z. B. ein Stern). Das Potential ist nur vom Abstand zur Ladung oder zur Masse abhängig, nicht jedoch vom Winkel zu einer gewählten Achse. Es spielt also keine Rolle, welches Bezugssystem zur Beschreibung gewählt wird, solange sich Ladung oder Masse in dessen Ursprung befinden. Als Folge der Symmetrie gilt für ein Teilchen in einem kugelsymmetrischen Potential die Drehimpulserhaltung. Wegen fehlender Translationssymmetrie ist der Impuls des Teilchens in diesem Beispiel keine Erhaltungsgröße.

Weiterführendes[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Genauer müssen die Messwahrscheinlichkeiten des Systems, die \{|\varphi_i |^2\}, invariant bleiben, was auch bei bloßen Zeitumkehrtransformationen der Fall ist.
  2. a b  Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Fields. Westview Press, 1995, ISBN 0-201-50397-2.
  3.  Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 6 Auflage. Harri Deutsch, ISBN 978-3817118601, S. 811.