Eichtransformation

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Eichtransformation verändert die sogenannten Eichfelder einer physikalischen Theorie (wie z. B. die elektromagnetischen Potentiale oder die potentielle Energie) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z. B. das elektromagnetische Feld oder ein Kraftfeld) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.[1] Dies wird als Eichfreiheit bezeichnet.

Man unterscheidet globale und lokale Eichtransformationen. Eine globale Eichtransformation wird an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, wie z. B. die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie, die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen, ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen Wellenfunktion der Quantenmechanik. Bei einer lokalen Eichtransformation werden diese Veränderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt, sondern mit Hilfe einer örtlich und/oder zeitlich variierenden Funktion.

Eine physikalische Wirkung, die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als eichinvariante Wirkung bezeichnet. Eine Theorie, die nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen Bewegungsgleichungen gewinnt, wird als Eichtheorie bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – Gravitation, Elektromagnetismus, schwache Wechselwirkung (Beta-Zerfall des Neutrons) und die starke Wechselwirkung (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben. Nach dem Noether-Theorem weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer Erhaltungsgröße hin.

Elektrodynamik[Bearbeiten]

Die Elektrodynamik ist invariant unter der Eichtransformation

\phi'(\vec r, t) = \phi(\vec r, t) - \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec r, t)\ ,
\vec A'(\vec r, t) = \vec A(\vec r, t) + \mathrm{grad}\, \psi(\vec r, t)\ ,

die die Potentialfunktion des elektrischen Feldes \phi\ und des magnetischen Feldes \vec{A} um die partiellen Ableitungen einer beliebig wählbaren Funktion \psi\ ändert.

Diese Transformation ändert weder das Magnetfeld

\vec{B}=\mathrm{rot}~\vec{A}

noch das elektrische Feld

\vec{E}=-\mathrm{grad}\,\phi-\frac{\partial}{\partial t} \vec{A}

Das Beispiel verwendet das Maßsystem mit c=1, zur Definition von \mathrm{grad} und \mathrm{rot} siehe Gradient und Rotation.

Beispiele[Bearbeiten]

Eichtransformationen können ausgenutzt werden, um Berechnungen mathematisch zu vereinfachen:

Lorenz-Eichung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lorenz-Eichung

Durch die nach Ludvig Lorenz benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion \psi\ , die

\nabla^2\psi - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = - (\nabla \cdot \vec{A} + \frac{\partial}{\partial t} \phi)

erfüllt, werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von \phi\ und \vec{A}.

Coulomb-Eichung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Coulomb-Eichung

Erfüllt die Eichfunktion \psi hingegen

\nabla^2\psi = - \nabla \cdot \vec{A}\ ,

so hilft die Transformation, das Skalarfeld \phi gerade zum Coulomb-Potential der Ladungen zu transformieren; \phi erfüllt dann die elektrostatische Poissongleichung.

Allgemeine Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Ebenso ist die Allgemeine Relativitätstheorie eine Eichtheorie, deren Eichtransformation neue Koordinaten als frei wählbare Funktionen der bisherigen Koordinaten festlegt:

 x'^\mu =  x'^\mu (x^\mu)\ .

Die Wirkung der Allgemeinen Relativitätstheorie ändert sich unter dieser Eichtransformation nicht.

Literatur[Bearbeiten]

  1. Robert G. Brown: Gauge Transformations (englisch) Abgerufen am 17. Januar 2013: „A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.“