Der Transformationssatz (auch Transformationsformel ) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen . Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.
Es sei
Ω
⊆
R
d
{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}
offene Menge und
Φ
:
Ω
→
Φ
(
Ω
)
⊆
R
d
{\displaystyle \Phi \colon \Omega \to \Phi (\Omega )\subseteq \mathbb {R} ^{d}}
Diffeomorphismus . Dann ist die Funktion
f
{\displaystyle f}
Φ
(
Ω
)
{\displaystyle \Phi (\Omega )}
integrierbar , wenn die Funktion
x
↦
f
(
Φ
(
x
)
)
⋅
|
det
(
D
Φ
(
x
)
)
|
{\displaystyle x\mapsto f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|}
Ω
{\displaystyle \Omega }
∫
Φ
(
Ω
)
f
(
y
)
d
y
=
∫
Ω
f
(
Φ
(
x
)
)
⋅
|
det
(
D
Φ
(
x
)
)
|
d
x
.
{\displaystyle \int _{\Phi (\Omega )}f(y)\,\mathrm {d} y=\int _{\Omega }f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|\mathrm {d} x\;.}
Dabei ist
D
Φ
(
x
)
{\displaystyle D\Phi (x)}
Jacobi-Matrix und
det
(
D
Φ
(
x
)
)
{\displaystyle \det(D\Phi (x))}
Funktionaldeterminante von
Φ
{\displaystyle \Phi }
Wählt man für
f
{\displaystyle f}
konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw.
d
{\displaystyle d}
Lebesgue-Maß der Bildmenge
Φ
(
Ω
)
{\displaystyle \Phi (\Omega )}
vol
(
Φ
(
Ω
)
)
=
∫
Ω
|
det
(
D
Φ
(
x
)
)
|
d
x
.
{\displaystyle \operatorname {vol} (\Phi (\Omega ))=\int _{\Omega }\left|\det(D\Phi (x))\right|\,\mathrm {d} x\;.}
Ist außerdem die Abbildung
Φ
{\displaystyle \Phi }
linear oder affin ,
Φ
(
x
)
=
A
x
+
b
{\displaystyle \Phi (x)=Ax+b}
A
{\displaystyle A}
d
×
d
{\displaystyle d\times d}
b
∈
R
d
{\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{d}}
D
Φ
(
x
)
=
A
{\displaystyle D\Phi (x)=A}
vol
(
Φ
(
Ω
)
)
=
|
det
(
A
)
|
⋅
vol
(
Ω
)
.
{\displaystyle \operatorname {vol} (\Phi (\Omega ))=\left|\det(A)\right|\cdot \operatorname {vol} (\Omega )\;.}
Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
σ
)
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\big (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{2}}}
gleich 1 ist, genügt es, die Aussage
(
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
)
2
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
−
y
2
d
x
d
y
=
π
{\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\pi }
zu beweisen. Da die Funktion
f
(
x
,
y
)
=
e
−
x
2
−
y
2
=
e
−
r
2
{\displaystyle f(x,y)=\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}=\mathrm {e} ^{-r^{2}}}
rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:
Es sei
Ω
=
R
>
0
×
(
0
,
2
π
)
{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} _{>0}\times (0,2\pi )}
Φ
:
Ω
→
R
2
,
(
r
,
φ
)
↦
(
r
cos
φ
,
r
sin
φ
)
.
{\displaystyle \Phi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{2},\quad (r,\varphi )\mapsto (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ).}
Dann ist die Funktionaldeterminante
det
D
Φ
(
r
,
φ
)
=
|
cos
φ
−
r
sin
φ
sin
φ
r
cos
φ
|
=
r
(
cos
2
φ
+
sin
2
φ
)
=
r
.
{\displaystyle \det D\Phi (r,\varphi )={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.}
Das Komplement von
Φ
(
Ω
)
⊂
R
2
{\displaystyle \Phi (\Omega )\subset \mathbb {R} ^{2}}
Nullmenge , mit
f
(
x
,
y
)
=
e
−
x
2
−
y
2
{\displaystyle f(x,y)=\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}}
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
−
y
2
d
x
d
y
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
=
∫
Φ
(
Ω
)
e
−
x
2
−
y
2
d
x
d
y
{\displaystyle {}=\int _{\Phi (\Omega )}\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
=
∫
Ω
e
−
(
r
cos
φ
)
2
−
(
r
sin
φ
)
2
⋅
det
D
Φ
(
r
,
φ
)
d
r
d
φ
{\displaystyle {}=\int _{\Omega }\mathrm {e} ^{-(r\cos \varphi )^{2}-(r\sin \varphi )^{2}}\cdot \det D\Phi (r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }
=
∫
Ω
e
−
r
2
⋅
r
d
r
d
φ
{\displaystyle {}=\int _{\Omega }\mathrm {e} ^{-r^{2}}\cdot r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }
=
∫
0
2
π
∫
0
∞
r
e
−
r
2
d
r
d
φ
{\displaystyle {}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }
=
∫
0
2
π
1
2
d
φ
=
π
.
{\displaystyle {}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \varphi =\pi .\,}
Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution
t
=
r
2
{\displaystyle t=r^{2}}
