Trapezregel

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Die Trapezregel beschreibt ein mathematisches Verfahren, wie man das Integral einer Funktion f(x) im Intervall [a, b] numerisch annähert (Numerische Quadratur).

Dazu ersetzt man die Fläche unter der Kurve y = f(x) im gegebenen Intervall durch ein Trapez oder mehrere gleich breite Trapeze.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung dieser Trapeze: Man kann die Kurve zum Beispiel näherungsweise durch eine Sehne zwischen den Funktionswerten an den Stellen a und b ersetzen. Dies führt zur Sehnentrapezformel. Man kann aber auch in der Mitte des Intervalls die Tangente an die Funktion legen und erhält dann die Tangententrapezformel.

Beispiel[Bearbeiten]

 J(f) = \int_{0}^{2}3^{3x-1} \, \mathrm{d}x = \frac{728}{9 \ln(3)} = 73{,}6282396649\dots

Mit Hilfe der im Folgenden erklärten Trapezformeln soll dieses bestimmte Integral näherungsweise berechnet werden.

Sehnentrapezformel[Bearbeiten]

Sehnentrapez
J(f) = \int_a^b f(x)\, \mathrm dx = Q(f) + E(f)

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie [a,b] (dem Intervall auf der x-Achse), den senkrechten Geraden [a,f(a)] und [b,f(b)] sowie der Sehne als Verbindungsgerade zwischen f(a) und f(b). Diese Sehne ersetzt die Kurve f(x), x\in[a,b].

Die Sehnentrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

Q(f) = (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}

Diese Formel - und auch die folgenden - kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“ (siehe Numerische Quadratur).

Ist f zweimal stetig differenzierbar in [a,b], dann gilt für das Restglied E(f) folgende Abschätzung (siehe Numerische Quadratur):

\left|E(f)\right| \le\frac{(b-a)^3}{12} \max_{a\le x\le b} \left|f''(x)\right|.

Ist f zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle \zeta\in[a,b]

E(f) = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\zeta)..

Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen: Falls die Funktion f(x), wie in der obigen Abbildung des Sehnentrapezes, streng konkav ist, gilt f''(x)<0 für alle x\in[a,b] und daher auch für die Zwischenstelle \zeta\in[a,b]. Somit folgt, dass E(f)=J(f)-Q(f)>0, d.h. die gesuchte Fläche J(f) ist größer als die Trapezfläche Q(f), wie auch die Abbildung zeigt.

Anschließend an das obige Beispiel:

Q(f) = \frac{2-0}2 \bigl(f(0) + f(2)\bigr) = \frac{730}3 = 243{,}\bar{3}

Zusammengesetzte Sehnentrapezformel[Bearbeiten]

J(f) = \int_a^b f(x)\,\mathrm dx = Q(f)^{(n)} + E^{(n)}(f)

Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall [a,b] in n nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge h=\tfrac{b-a}n. In jedem Teilintervall wendet man die Sehnentrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Sehnentrapezformel:

 Q(f)=h\left(\frac 12 f(a) + \frac 12 f(b) + \sum_{i=1}^{n-1} f(a+ih)\right)

mit

 h = \frac{b-a}n.

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet

\left|E(f)\right|\le\frac{(b-a)}{12} h^2 \max_{a\le x\le b} \left|f''(x)\right|

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle \zeta aus dem Intervall [a,b]

E(f)= -\frac{(b-a)}{12} h^2 f''(\zeta).

Anschließend an das obige Beispiel: Sei die Schrittweite h = \tfrac 13 und damit n = 6. Dann ist

\begin{align}
  Q^{(6)}(f) &= \frac 13\left(\frac 12f(0) + f\left(\frac 13\right) + f\left(\frac 23\right) + f(1) + f\left(\frac 43\right) + f\left(\frac 53\right) + \frac 12 f(2) \right)\\
             &= \frac{728}9 = 80{,}\bar{8}
\end{align}

Tangententrapezformel[Bearbeiten]

Tangententrapez
 J(f) = \int_{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = Q(f) + E(f)

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie [a,b] (dem Intervall auf der x-Achse), den senkrechten Geraden [a,f(a)] und [b,f(b)] sowie der Tangente an f(x) in der Mitte des Intervalls [a,b]. Diese Tangente ersetzt die Kurve f(x), x\in[a,b].

Die Tangententrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

 Q(f) = (b - a) \ f\left(\frac{a + b}{2} \right)

Diese Formel - und auch die folgenden - kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“ (siehe Numerische Quadratur).

Ist f zweimal stetig differenzierbar in [a,b], dann gilt für das Restglied E(f) folgende Abschätzung (siehe Numerische Quadratur):

\left| E(f) \right| \le \frac{(b-a)^3}{24} \max_{a\le x \le b} {\left| f''(x) \right|}

Ist f zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle \zeta\in[a,b]:

 E(f) = \frac{(b-a)^3}{24} \cdot f''(\zeta)

Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen: Falls die Funktion f(x), wie in der obigen Abbildung des Tangententrapezes, streng konkav ist, gilt f''(x)<0 für alle x\in[a,b] und daher auch für die Zwischenstelle \zeta\in[a,b]. Somit folgt, dass E(f)=J(f)-Q(f)<0, d.h. die gesuchte Fläche J(f) ist kleiner als die Trapezfläche Q(f), wie auch die Abbildung zeigt.

Dreht man im obenstehenden Bild der Tangententrapezregel die Tangente im Punkt (c,f(c)) im Uhrzeigersinn bis man eine horizontale Gerade erhält, so entsteht ein Rechteck mit der gleichen Fläche. Die so erhaltene Regel (Mittelpunktsregel) ist somit eine andere geometrische Deutung der gleichen Quadraturformel.

Anschließend an das obige Beispiel:

 Q(f) = (2-0) \cdot f(1) = 18

Zusammengesetzte Tangententrapezformel[Bearbeiten]

Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall [a,b] in n nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge h=\tfrac{b-a}n. In jedem Teilintervall wendet man die Tangententrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Tangententrapezformel:

 Q(f)=h \cdot \sum_{i=1}^n f\left(a \ + \ h \cdot \frac{2i - 1}{2}\right)

mit

 h = \frac{(b - a)}{n}

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:

\left| E(f) \right| \le {(b - a) \over 24} \ h^2 \max_{a\le x \le b} {\left| f''(x) \right|}

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle \zeta\in[a,b]:

 E(f)={(b - a) \over 24} \cdot h^2 \cdot f''(\zeta)

Anschließend an das obige Beispiel: Sei die Schrittweite   h = \tfrac 13 und damit n = 6

Q^{(6)}(f) = \frac{1}{3} \cdot \left(f\left(\frac{1}{6}\right) + f\left(\frac{3}{6}\right) + f\left(\frac{5}{6}\right) + f\left(\frac{7}{6}\right) + f\left(\frac{9}{6}\right) + f\left(\frac{11}{6}\right) \right) = \frac{364 \sqrt 3}{9} = 70{,}05183266\dots

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]