Trennung der Veränderlichen

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Die Methode der Trennung der Veränderlichen, Trennung der Variablen, Separationsmethode oder Separation der Variablen ist ein Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Mit ihr lassen sich separierbare Differentialgleichungen erster Ordnung lösen. Das sind Differentialgleichungen, bei denen die erste Ableitung ein Produkt aus einer nur von x und einer nur von y abhängigen Funktion ist: y' = f(y)g(x). Der Begriff „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann Bernoulli zurück, der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete.[1]

Ein ähnliches Verfahren für bestimmte partielle Differentialgleichungen ist der Separationsansatz.

Lösung des Anfangswertproblems[Bearbeiten]

Wir untersuchen das Anfangswertproblem

y'(x) = f(y(x))g(x)\ ,\ y(x_0) = y_0

für stetige (reelle) Funktionen f und g. Falls f(y_0) = 0, so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion y(x) :\equiv y_0 gelöst. Diese Lösung muss unter den angegebenen Bedingungen nicht eindeutig sein.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Es seien x_0, y_0 \in \mathbb{R} mit f(y_0) \neq 0. Dann gilt:

  • Es gibt ein y_0 umfassendes offenes Intervall U \subset \mathbb{R} mit f(y)\neq 0 für alle y \in U. Dann ist die Abbildung \Phi(y) := \int_{y_0}^y\frac{1}{f(s)}{\rm d}s auf U wohldefiniert und streng monoton.
Weiter gibt es ein x_0 umfassendes offenes Intervall V \subset\mathbb{R}, so dass die Abbildung x \mapsto \int_{x_0}^xg(s){\rm d}s für alle x \in V Werte in \Phi(U) hat.
  • Seien U und V wie oben. Dann ist u(x) := \Phi^{-1}\left(\int_{x_0}^x g(s){\rm d}s\right) die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems
 y'(x) = f(y(x))g(x)\ ,\ y(x_0) = y_0
auf V.

Die Lösung u des Anfangswertproblems ist in diesem Fall also die Lösung der Gleichung

\int_{y_0}^{u(x)} \frac{1}{f(s)} \, \mathrm ds = \int_{x_0}^xg(s)\,\mathrm ds.

Man beachte, dass im Fall der konkreten Gestalt der getrennten Veränderlichen tatsächlich lokale Eindeutigkeit bei f(y_0) \neq 0 vorliegt, obwohl f und g keine lokale Lipschitz-Bedingung zu erfüllen brauchen.

Beweis[Bearbeiten]

Da f(y_0) \neq 0 und f stetig, gibt es ein y_0 umfassendes offenes Intervall U, so dass f(y) \neq 0 für alle y \in U. Insbesondere hat f auf U dasselbe Vorzeichen, so dass \Phi(y) := \int_{y_0}^y\frac{1}{f(s)}{\rm d}s auf U wohldefiniert und streng monoton ist. \Phi(U) ist ein 0 umfassendes offenes Intervall. Also gibt es ein x_0 umfassendes offenes Intervall V \subset \mathbb{R}, so dass \int_{x_0}^xg(s){\rm d}s \in \Phi(U) für alle x \in V gilt.

u(x) := \Phi^{-1}\left(\int_{x_0}^xg(s){\rm d}s\right) ist auf V wohldefiniert, und wegen \Phi'(y) = \frac{1}{f(y)}\neq 0 für alle y \in U gilt

u'(x) = \frac{g(x)}{\Phi'(\Phi^{-1}(\int_{x_0}^xg(s){\rm d}s))} = f\left(\Phi^{-1}\left(\int_{x_0}^xg(s){\rm d}s\right)\right)g(x) = f(u(x))g(x)

auf V. Bei der Ableitung u'(x) wurden die Kettenregel und die Umkehrregel genutzt. Natürlich ist u(x_0) = y_0. Dies beweist die Existenz einer Lösung des angegebenen Anfangswertproblems.

Für die Eindeutigkeit nehme man an, dass \tilde{u} irgendeine Lösung des Anfangswertproblems auf V ist. Es wird nun gezeigt, dass u = \tilde{u} auf \{x \in V\ |\ x > x_0\} gilt; die Eindeutigkeit links von x_0 geht analog.

Angenommen, die Eindeutigkeit rechts von x_0 wäre verletzt. Wegen der Stetigkeit von u und \tilde{u} gibt es ein M \in V mit M \geq x_0, so dass

u(x) = \tilde{u}(x) für alle x \in [x_0, M]

wahr ist, für das jedoch die Aussage

u(x) = \tilde{u}(x) auf [x_0, M+\epsilon]

für jedes \epsilon > 0 mit M+\epsilon \in V falsch ist. Im Folgenden wird gezeigt, dass es dennoch ein positives \epsilon > 0 gibt, für das obige Aussage wahr ist, was den gewünschten Widerspruch impliziert.

Wegen \tilde{u}(M) = u(M) \in U gibt es in \epsilon_0 > 0 mit M+\epsilon_0 \in V, so dass \tilde{u}(x) \in U für alle x \in [M, M+\epsilon_0) gilt. Insbesondere ist \Phi(\tilde{u}) auf [x_0, M+\epsilon_0) wohldefiniert, und es gilt

(\Phi(\tilde{u}))'(x) = \Phi'(\tilde{u}(x))\tilde{u}'(x) = \frac{1}{f(\tilde{u}(x))}f(\tilde{u}(x))g(x) = g(x) für alle x \in [x_0, M+\epsilon_0).

Dies impliziert \Phi(\tilde{u}(x)) = \int_{x_0}^x g(s){\rm d}s, also \tilde{u}(x) = \Phi^{-1}\left(\int_{x_0}^x g(s){\rm d}s\right) für alle x \in [x_0, M+\epsilon_0), welches mit der Definition von u übereinstimmt. Dies liefert den Widerspruch zur Annahme der Nichteindeutigeit.

\Box

Beispiel[Bearbeiten]

Gesucht sei die Lösung y des Anfangswertproblems

y' = xy^2 + x\ ,\ y(0) = 1\ .

Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:

y' = x(y^2 + 1)\ .

Setze also

\Phi(y) := \int_1^y\frac{1}{1+s^2}{\rm d}s = \arctan y - \arctan 1 = \arctan y - \frac{\pi}{4}\ .

Die Umkehrfunktion lautet

\Phi^{-1}(y) = \tan\left(y + \frac{\pi}{4}\right)\ .

Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch

y(x) = \tan\left(\int_0^xs{\rm d}s + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\ .

Anschaulich[Bearbeiten]

Anschaulich besagt der Satz von der Trennung der Veränderlichen, dass das folgende Vorgehen erlaubt ist, d. h. zu richtigen Ergebnissen führt (obwohl die Differentiale \mathrm dx und \mathrm dy eigentlich nur Symbole sind, mit denen man streng genommen nicht rechnen kann):

  • Schreibe die Ableitung konsequent als \tfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}.
  • Bringe alle Terme, in denen ein x vorkommt – einschließlich des \mathrm dx – auf die rechte, und alle anderen − einschließlich des \mathrm dy – auf die linke Seite, unter Anwendung gewöhnlicher Bruchrechnung.
  • Es sollte dann links im Zähler ein \mathrm dy und rechts im Zähler ein \mathrm dx stehen.
  • Setze einfach vor beide Seiten einen Integral und integriere.
  • Ermittle Integrationskonstante C mithilfe der Anfangsbedingung.

Die Rechnung für das obige Beispiel würde dann auf folgende Weise ablaufen:


\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = xy^2+x \;\Longrightarrow\,
\int \frac{\mathrm dy}{1+y^2} = \int x \, \mathrm dx \;\Longrightarrow\,
\arctan(y) = \frac{x^2}{2} + C \;\Longrightarrow\,
y = \tan\left(\frac{x^2}{2} + C\right)

mit 1 = y(0) = \tan(C), also C = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-12227-8, S. 128