Wahrscheinlichkeitsfunktion

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist in der Stochastik eine reellwertige Funktion, die einem Element einer (höchstens abzählbaren) Menge eine Zahl zwischen null und eins zuordnet. Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind ein gängiges Mittel, um auf abzählbaren Ereignisräumen verschiedenste diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren. Dabei wird die einem Element zugeordnete Zahl als Wahrscheinlichkeit gedeutet, dass das entsprechende Elementarereignis eintritt.

Ein Beispiels hierfür wäre ein fairer Münzwurf: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet dem Element "Kopf" die Zahl 0,5 zu. Diese wiederum entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" geworfen wird.

Synonym werden Wahrscheinlichkeitsfunktionen auch als Zähldichte bezeichnet, da sie in einem weiteren maßtheoretischen Kontext einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezüglich des Zählmaßes entspricht. Aufgrund ihrer unterschiedlichen Eigenschaften wird zwischen Zähldichten und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen unterschieden.

Definition

Eine Abbildung

$f:\mathbb {N} \to [0,1]$,

die jeder natürlichen Zahl $i$ eine Zahl zwischen Null und Eins zuordnet, also

$f(i)=p_{i}$

mit $p_{i}\in [0,1]$ und für die gilt

$\sum _{i=0}^{\infty }p_{i}=1$

heißt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Analog wird für eine beliebige höchstens abzählbare Menge $A$ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f:A\to [0,1]$

definiert durch

$f(a)=p_{a}{\text{ für alle }}a\in A$,

so dass

$\sum _{a\in A}p_{a}=1$

erfüllt ist.

Beispiel und Verwendung

Wahrscheinlichkeitsfunktion eines fairen Würfels. Alle Augenzahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6.

Ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\mathbb {N}$ gegeben, so lässt sich aus ihr eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Messraum $(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))$ definieren. Dafür setzt man

$P(\{i\})=f(i)=p_{i}$

und

$P(T)=\sum _{i\in T}f(i)$

So liefert beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\{1,\dots ,6\}$, gegeben durch

$f(i)={\frac {1}{6}}{\text{ für alle }}i$

eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeiten beim fairen Würfeln zu definieren. Diese ist dann gegeben durch

$P(\{i\})=f(i)={\frac {1}{6}}{\text{ für alle }}i=1,\dots ,6$.

Die Wahrscheinlichkeiten für Mengen der Form $\{2,3,6\}$ ergeben sich dann über die obige Definition oder die σ-Additivität der Wahrscheinlichkeitsverteilungen als

$P(\{2,3,6\})=P(\{2\})+P(\{3\})+P(\{6\})=f(2)+f(3)+f(6)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$.

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen findet sich bei der geometrische Verteilung, eine ihrer Varianten besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f(i)=(1-q)q^{i}{\text{, wobei }}i=0,1,2,\dotsc$.

Dabei ist $q\in (0,1)$. Die Normiertheit folgt hier mittels der geometrischen Reihe. Hier ergibt sich dann beispielsweise

$P(\{0,2\})=P(\{0\})+P(\{2\})=f(0)+f(2)=(1-q)+(1-q)q^{2}=(1-q)(1+q^{2})$

Analog lassen sich so Wahrscheinlichkeitsmaße auf allgemeineren Mengen definieren. Wesentlicher und einziger Unterschied ist hier, dass die Indizierung und Summation über die Elemente der Grundmenge $A$ läuft und nicht über die natürlichen Zahlen.

Eigenschaften

Eindeutigkeit

Jede Wahrscheinlichkeitsfunktion definiert über die obige Konstruktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Umgekehrt definiert jede Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer höchstens abzählbaren Menge über

$f(i):=P(\{i\})$

eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Diese Zuordnung ist bijektiv, das heißt jedem Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer höchstens abzählbaren Menge kann eine eindeutige Wahrscheinlichkeitsfunktion zugeordnet werden und umgekehrt. Diese Eindeutigkeit ist nicht selbstverständlich und bei den Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen beispielsweise nicht gegeben. So besitzt die Cantor-Verteilung keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, dass sich über eine Wahrscheinlichkeitsfunktion definieren lässt. Charakteristischerweise hat die Verteilungsfunktion an der Stelle $i$ einen Sprung um $p_{i}$ nach oben.

Ist $f$ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\mathbb {N}$, so ist die Verteilungsfunktion des entsprechenden Wahrscheinlicheitsmaßes gegeben als

$F_{P}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }p_{i}$.

Dabei bezeichnet $\lfloor \cdot \rfloor$ die Abrundungsfunktion, das heißt $\lfloor x\rfloor$ ist größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.

Ist $f$ auf einer höchstens abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen definiert, also auf $A\subset \mathbb {R}$, so ist die Verteilungsfunktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert durch

$F_{P}(x)=\sum _{i\leq x}p_{i}$.

Beispiel hierfür ist $A=\mathbb {Z}$.

Literatur

• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5. 
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.