Wahrscheinlichkeitsfunktion

Ein Zufallsexperiment mit endlich oder abzählbar unendlich vielen möglichen Ausgängen lässt sich durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (engl.: probability function oder probability mass function) beschreiben, welche für jeden Ausgang des Experiments dessen Auftretenswahrscheinlichkeit angibt. Im mathematischen Teilgebiet Stochastik werden Zufallsexperimente durch Zufallsvariablen modelliert, deren zufälliger (numerischer) Wert als die Ausprägung eines bestimmten zufälligen Merkmals interpretiert und bezeichnet wird.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt dann die Auftretenswahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen des von einer diskreten Zufallsvariablen modellierten Merkmals an.

Sie ist das Gegenstück zur Dichtefunktion bei stetigen Zufallsvariablen und wird deswegen auch als Zähldichte bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion kumuliert die Zähldichten durch Summenbildung.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Würfelwürfe mit zwei Würfeln (Säulendiagramm):
→ Die Augen sind das Merkmal
→ Deren Anzahl ist die Merkmalsausprägung
→ Die Funktion gibt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Ausprägung an

Eine diskrete Zufallsvariable $X$ nimmt endlich oder abzählbar unendlich viele Werte $x_i$ an. Jedem dieser Werte kann eine Wahrscheinlichkeit $\rho(x_i) = p_i \in [0,1]$ zugeordnet werden, mit der die Zufallsvariable diesen Wert annimmt (mit der sie „mit dieser Ausprägung des Merkmals auftritt“).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch

$P(X=x_i) = p_i\,$

gegeben.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten $\sum p_i$ muss 1 ergeben, das entspricht der Forderung, dass alle möglichen Ausprägungen $x_i$ berücksichtigt wurden.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $\rho$ ist aus maßtheoretischer Sicht die Dichte der Verteilung von $X$ bezüglich des Zählmaßes auf der Menge der möglichen Werte.

Verteilungsfunktion

Die (kumulative) Verteilungsfunktion berechnet sich durch Aufsummieren der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion zu

$F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} \rho(x_i)$,

wobei die Summe über alle Ausprägungen $x_i$ von $X$ läuft, die kleiner oder gleich $x$ sind.

Beispiel

Wahrscheinlichkeitsfunktion eines fairen Würfels. Alle Augenzahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6.

Die Zufallsvariable $X$ sei das Ergebnis beim Würfeln. Die Verteilung von $X$ ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$\rho(x) = \begin{cases}{1 \over 6} & x \in \{1, \ldots, 6\} \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}$

• Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, ist $P(X=6) = \rho(6) = 1/6$
• Die Wahrscheinlichkeit, maximal eine Drei zu würfeln, lässt sich aus der Verteilungsfunktion ablesen:

$F(3) = P(X \leq 3) = \sum_{i=1}^3 {1 \over 6} = {1 \over 2}$