Windschiefe

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Darstellung zweier windschiefer Geraden
Räumliches Bild zweier windschiefer Geraden mit Gemeinlot

In der Geometrie nennt man zwei Geraden windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.[1] Dies ist erst im dreidimensionalen Raum möglich.

Zum Nachweis, dass zwei Geraden g und h windschief sind, genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von g, ein Richtungsvektor von h und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf g zu einem Punkt auf h linear unabhängig sind. Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.

Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden[Bearbeiten]

Abstand d zweier windschiefer Geraden

Die eindeutig bestimmte Strecke kleinster Länge, die zwei windschiefe Geraden g und h verbindet, nennt man Gemeinlot der beiden Geraden. Die Gerade, auf der das Gemeinlot liegt, nennt man die Minimaltransversale der beiden Geraden . Diese ist diejenige eindeutig bestimmte Gerade, welche im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Die Länge des Gemeinlots von g und h ist der Abstand d = d(g,h) der beiden Geraden.

Gegeben seien die windschiefen Geraden g und h mit den Stützpunkten A und B bzw. den Stützvektoren \vec a = \overrightarrow{OA},\;\vec b = \overrightarrow{OB} und den Richtungsvektoren \vec v und \vec w. Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

g: \vec x = \vec a + r \vec v
h: \vec x = \vec b + s \vec w \ \ \, r,s \in \R

wobei \vec a,\,\vec b,\,\vec v,\,\vec w \in \R^3 gilt und die drei Vektoren  \vec a - \vec b,\,\vec v,\,\vec w  linear unabhängig sein müssen.

Der Normalenvektor \vec n, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren \vec v und \vec w steht, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen

\vec n = \vec v \times \vec w    und auf die Länge 1 bringen:    \vec n_0 = \frac{\vec v \times \vec w}{|\vec v \times \vec w|}.

Die Berechnung des Abstandes ist möglich durch die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf den Normalenvektor. Dazu wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt dann

d(g,h)=|(\vec a -\vec b)\cdot \vec n_0|.

Schreibweise mit Determinanten[Bearbeiten]

Die beiden Geradengleichungen lauten ausgeschrieben

g: \vec x = \left(\begin{smallmatrix} a_1 \\[0.7ex] a_2 \\[0.7ex] a_3 \end{smallmatrix}\right) + r \left(\begin{smallmatrix} v_1 \\[0.7ex] v_2 \\[0.7ex] v_3 \end{smallmatrix}\right)
h: \vec x = \left(\begin{smallmatrix} b_1 \\[0.7ex] b_2 \\[0.7ex] b_3 \end{smallmatrix}\right) + s \left(\begin{smallmatrix} w_1 \\[0.7ex] w_2 \\[0.7ex] w_3 \end{smallmatrix}\right) \ \ \,r,s \in \R.

Der Abstand der beiden windschiefen Geraden mit Hilfe der Determinante det beträgt dann

d(g,h) = \frac{\left| \det \begin{pmatrix} a_1-b_1 & a_2-b_2 & a_3-b_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}\right|}{\sqrt{\begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} v_3 & v_1 \\ w_3 & w_1\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2\end{vmatrix}^2}}.

Bestimmung der Lotfußpunkte[Bearbeiten]

Zeichnung zur Bestimmung der Lotfußpunkte

Den Lotfußpunkt Fh erhält man, indem man eine Hilfsebene E aufstellt. Der Punkt A liegt auf der Hilfsebene, \vec v und \vec n spannen die Hilfebene auf.

E: \vec x = \vec a + r \vec v + t \vec n \ \ , r,t \in \R   , wobei der Normalenvektor bestimmt wird durch \vec n = \vec v \times \vec w.

Der Schnittpunkt von E und h ergibt den Lotfußpunkt Fh:

\vec F_h=\frac{ \vec a \cdot \vec n_1 - \vec b \cdot \vec n_1 }{ \vec w \cdot \vec n_1 } \vec w + \vec b mit \vec n_1 = \vec v \times (\vec v \times \vec w)

Analog erhält man Fg mit der Ebene E': \vec x = \vec b + s \vec w + t \vec n \ \ \, s,t \in \R  und ihrem Schnittpunkt mit g:

\vec F_g=\frac{ \vec b \cdot \vec n_2 - \vec a \cdot \vec n_2 }{ \vec v \cdot \vec n_2 } \vec v + \vec a mit \vec n_2 = \vec w \times (\vec v \times \vec w)

Bei dieser Methode muss der Abstand d nicht berechnet werden.

Bemerkung[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Meyers Rechenduden, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1960, S. 807
  2. Abschnitt 3.3.1.1 Zwei Geraden in der Google-Bücher-Suche für das Taschenbuch der Mathematik

Literatur[Bearbeiten]

  •  M. Jeger / B. Eckmann: Einführung in die vektorielle Geometrie und lineare Algebra für Ingenieure und Naturwissenschafter. Birkhäuser Verlag, Basel - Stuttgart 1967.
  • Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung, Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main, 1971, ISBN 3-425-05302-7
  • Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung, Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main, 1971, ISBN 3-425-05302-7
  • Wilmut Kohlmann et al.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Vieweg-Verlag, Braunschweig, 1977, ISBN 3-594-10826-0
  • Elisabeth & Friedrich Barth, Gert Krumbacher: Anschauliche Analytische Geometrie, Oldenbourg-Verlag, München, 1997, ISBN 3-486-03500-2

Weblinks[Bearbeiten]