Wochentagsberechnung

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Gregorianischer Dauerkalender ab dem 15. Oktober 1582
Julianischer Dauerkalender ab dem 1. Januar des Jahres 1 (Nicht berücksichtigt ist die Korrektur von Augustus bis zum Jahr 8)

Die Wochentagsberechnung (auch Kalenderrechnen genannt) beruht auf einem Algorithmus, mit dem man den Wochentag zu jedem beliebigen Datum berechnen kann. Eine Ergebniskontrolle ist gegeben mit den abgebildeten Dauer-/Ewigen Kalendern. Die Wochentagsberechung ist auch eine beliebte Disziplin bei Meisterschaften im Kopfrechnen. Ein bekannter Rekordhalter in dieser Disziplin ist Jan van Koningsveld.

Einführung[Bearbeiten]

a mod b (a modulo b) ergibt den Rest, der übrig bleibt, wenn man a durch b ganzzahlig teilt. Für die Wochentagsberechnung wichtig ist der Rest modulo 7.

Zum Beispiel 17 mod 7 = 3, denn 17 / 7 ist 2, Rest 3

Das ganzzahlige Ergebnis der Division (im obigen Beispiel die 2) wird mit der Notation a div b erzielt. Für die Wochentagsberechnung ist hierbei (für die Jahresziffer) div 4 wichtig.

Zum Beispiel 17 div 4 = 4

Berechnung[Bearbeiten]

Unter der Annahme, dass sich ein Datum nach folgendem Schema zusammensetzt:

 T.M.J_{h}J_{z}

wobei J_{h} die ersten beiden Stellen der vierstelligen Jahreszahl darstellen und J_{z} die letzten zwei. Kann man folgende 5 Werte einer Summe berechnen.

Tagesziffer[Bearbeiten]

Die Tagesziffer N_{T}: sie ist der Tag im Monat modulo 7.

N_{T} = T\ mod\ 7

Monatsziffer[Bearbeiten]

Die Monatsziffer N_{M}, die man sich merken muss:

Jan → N_{M} = 0
Feb → N_{M} = 3
Mär → N_{M} = 3
Apr → N_{M} = 6
Mai → N_{M} = 1
Jun → N_{M} = 4
Jul → N_{M} = 6
Aug → N_{M} = 2
Sep → N_{M} = 5
Okt → N_{M} = 0
Nov → N_{M} = 3
Dez → N_{M} = 5

Im Januar fängt es mit der Null an. Die Ziffern der anderen ergeben sich aus den Resten des Vormonats.

Der Januar hat 31 Tage, und 31 mod 7 = 3, deshalb hat der Februar die 3 (Rest vom Januar) + 0 = 3.
Der Februar hat 28 Tage, und 28 mod 7 = 0, und für den März wird diese 0 zur 3 vom Februar addiert, und das ergibt wieder die 3.
Der März hat 31 Tage, 31 mod 7 = 3, und 3 + 3 = 6, also ist die Merkziffer für April die 6.
Der April hat 30 Tage, 30 mod 7 = 2 und 6 + 2 = 8, und 8 mod 7 = 1, also ist die Merkziffer für den Mai die 1, usw.

Wenn man eine Monatsziffer vergessen hat, kann man sie sich so wieder ausrechnen.

Jahresziffer[Bearbeiten]

Für die Jahresziffer N_{Jz} wird das Jahr im Jahrhundert, also nur die letzten beiden Ziffern, zum abgerundeten Ganzzahlergebnis der Division durch 4 derselben Zahl addiert. Diese Summe dividiert man dann modulo 7.

N_{Jz} = (J_{z} + (J_{z}\ div\ 4))\ mod\ 7

Es ergeben sich dabei beispielhaft folgende Ziffern:

Jahre: 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Ziffer: 0 1 2 3 5 6 0 1 3 4 5 6 1 2 3 4 6 0 1 2 4 5 6 0 2 3 4 5 0

Es wird immer um 1 weitergezählt, in Schaltjahren um 2, nach der 6 geht es wieder mit der 0 weiter. Diese Ziffern wiederholen sich alle 28 Jahre, ..28 hatte also dieselbe Ziffer wie ..56 und ..84.

Beispiel für 1950: 50 + (50 div 4 = 12) = 62, das geht in 7 genau 8 Mal = 56 und 6 bleiben als Rest. Die Jahresziffer für 1950 ist also die 6. Da die Jahresziffer von ..50 die gleiche ist wie die von ..78 oder von ..22 (78 = 50 + 28, 22 = 50 − 28), kann man die Berechnung der Jahresziffer in diesem Fall auch mit kleineren Zahlen bewerkstelligen: Die Jahresziffer von 1950 ist die gleiche wie die von 1922, also 22 + (22 div 4 = 5) = 27 = 3 x 7 + 6; auch hier erhält man natürlich als Jahresziffer die 6.

Jahrhundertziffer[Bearbeiten]

Die ersten beiden Ziffern der Jahreszahl sind J_{h}. Die Formel für die Jahrhundertziffer N_{Jh} ist:

N_{Jh} = (3 - (J_{h}\ mod\ 4))\ *\ 2

Dementsprechend ist die Jahrhundertziffer:

0 für alle Jahre, die mit 19, 23, 27 anfangen.
2 für alle Jahre, die mit 18, 22, 26 anfangen.
4 für alle Jahre, die mit 17, 21, 25 anfangen.
6 für alle Jahre, die mit 16, 20, 24 anfangen.

Anmerkung: Die Jahrhundertziffer ist nicht identisch betreffs der Zugehörigkeit zum Jahrhundert. Das 20.Jahrhundert zum Beispiel umfasst die Jahre 1901 bis 2000.

Der Zyklus von 400 Jahren im gregorianischen Kalender hat 146097 Tage, und die sind durch 7 teilbar. Die Wochentage wiederholen sich also alle 400 Jahre, das Jahr 2004 z. B. hat dieselben Wochentage wie 1604, 2404, 2804 usw.

Schaltjahreskorrektur[Bearbeiten]

Wir haben bisher den Schalttag dem ganzen Jahr zugerechnet, die Rechnung stimmt also erst ab dem 1. März. Wenn das Datum im Januar oder Februar eines Schaltjahrs liegt, ist N_{Sj} = -1 (oder 6, da immer Modulo 7 gerechnet wird), ansonsten N_{Sj} = 0.

Ergebnis[Bearbeiten]

Wenn man diese 5 Zahlen addiert und den Rest bei Division durch 7 ermittelt, erhält man den Wochentag W:

W = (N_{T} + N_{M} + N_{Jh} + N_{Jz} + N_{Sj})\ mod\ 7

Anhand des numerischen Ergebnisses kann nun der Wochentag bestimmt werden:


\begin{align}
W &= 0 \rightarrow Sonntag \\
W &= 1 \rightarrow Montag \\
W &= 2 \rightarrow Dienstag \\
W &= 3 \rightarrow Mittwoch \\
W &= 4 \rightarrow Donnerstag \\
W &= 5 \rightarrow Freitag \\
W &= 6 \rightarrow Samstag \\
\end{align}

Bei all diesen Additionen kann man immer gleich mod 7 rechnen, also

statt eine 1 zu addieren, kann man 6 abziehen
statt eine 2 zu addieren, kann man 5 abziehen
statt eine 3 zu addieren, kann man 4 abziehen
statt eine 4 zu addieren, kann man 3 abziehen
statt eine 5 zu addieren, kann man 2 abziehen
statt eine 6 zu addieren, kann man 1 abziehen

Man hat es dann nur mit Zahlen von 0 bis 6 zu tun, so dass Finger als Rechenhilfe ausreichen.

Beispiele[Bearbeiten]

14. Juli 1789

  1. 14 mod 7 = 0
  2. Juli hat die Merkziffer 6
  3. ..89 Merkziffer 6
  4. 17.. Merkziffer 4
  5. keine Schaltjahrkorrektur, also 0
(0 + 6 + 6 + 4 + 0) mod 7 = 2.

Die Bastille wurde an einem Dienstag erstürmt.

23. Mai 1949

  1. 23 mod 7 = 2
  2. Mai 1
  3. ..49 5
  4. 19.. 0
  5. 0
(2 + 1 + 5 + 0 + 0) mod 7 = 1.

Die Bundesrepublik Deutschland wurde an einem Montag gegründet.

18. Januar 1892

  1. 18 mod 7 = 4
  2. Jan 0
  3. ..92 3
  4. 18.. 2
  5. Schaltjahrkorrektur! 6
(4 + 0 + 3 + 2 + 6) mod 7 = 1

Oliver Hardy wurde an einem Montag geboren.

9. November 1989

  1. 9 mod 7 = 2
  2. Nov. 3
  3. ..89 6
  4. 19.. 0
  5. 0
(2 + 3 + 6 + 0 + 0) mod 7 = 4

Der Mauerfall war an einem Donnerstag.

Julianischer Kalender[Bearbeiten]

Im julianischen Kalender verläuft die Rechnung genauso, nur die Jahrhundertziffern sind anders, und man muss darauf achten, dass alle ..00-er Jahre Schaltjahre sind. Der julianische Kalender hat einen Zyklus von 700 Jahren.

Die Formel für die Jahrhundertziffer im julianischen Kalender ist:

6 − ((Jahrhundert − 5) mod 7)
Jahr ... 5.. 6.. 7.. 8.. 9.. 10.. 11.. 12.. 13.. 14.. 15.. 16.. 17.. 18.. 19.. 20.. ...
Ziffer ... 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 ...

Sonstiges[Bearbeiten]

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden viele Methoden zur Wochentagsberechnung veröffentlicht. Die erste Veröffentlichung ist wahrscheinlich die von Lewis Carroll in der Zeitschrift „Nature“ (Band 35, vom 31. März 1887, Seite 517). Darin schreibt Carroll: „Ich selbst bin kein Schnellrechner und durchschnittlich brauche ich ca. 20 Sekunden, um eine gestellte Frage zu beantworten; ich zweifle aber nicht daran, daß ein wirklicher Schnellrechner zur Antwort noch nicht einmal 15 Sekunden benötigen würde.“ [1]

Sport[Bearbeiten]

Bei den seit 2004 im zweijährlichen Rhythmus stattfindenden Weltmeisterschaften im Kopfrechnen ist Kalenderrechnen eine Disziplin. Die Sieger waren 2004 und 2006 Matthias Kesselschläger (Deutschland) sowie 2008 Jan van Koningsveld (ebenfalls Deutschland). Der Weltrekord liegt bei 93 Daten in einer Minute und wurde 2010 von Yusnier Viera Romero aus Kuba aufgestellt.[2]

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Kapitel: „Tricks der Schnellrechner“
  2. http://www.recordholders.org/en/records/dates.html

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Perpetual calendars – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien