Kopfrechnen

Unter Kopfrechnen versteht man das Lösen mathematischer Aufgaben im Kopf ohne das Benutzen von Hilfsmitteln.

Grundlagen

Viele Menschen besitzen ein grundlegendes Wissen zum Thema Kopfrechnen, das sie in der Schule erworben haben. Normalerweise umfasst dieses Wissen das Ausführen einfacher Additions- und Subtraktionsaufgaben, das auswendig gelernte kleine Einmaleins und das Dividieren. Die Fähigkeit, im Kopf zu rechnen, kann trainiert werden.

Zauberkunststücke

Bei einigen Veranstaltungen von Zauberkünstlern werden seltene besondere Fähigkeiten auf dem Gebiet des Kopfrechnens zur Schau gestellt. Meistens handelt es sich um das Hantieren mit besonders großen Zahlen. Oft stecken dahinter einfache mathematische Besonderheiten, die nur für die spezielle Aufgabe nutzbar sind. Sie sind beeindruckend, aber haben keinen Nutzen im täglichen Leben.

Echtes Kopfrechnen

Nur selten werden Techniken zum allgemeinen Kopfrechnen angeboten. Dieses Gebiet umfasst normalerweise alle Funktionen, die ein durchschnittlicher Schultaschenrechner beherrschen muss, sowie die Wochentagsberechnung. Eines der wenigen guten Werke auf diesem Gebiet ist das Buch Dead reckoning - Calculating without instruments von Ronald W. Doerfler, das bisher nicht ins Deutsche übersetzt wurde.

Bekannte Kopfrechner

Zu den wenigen genialen Kopfrechnern zählen beispielsweise Prof. Aitkens, der Brite Robert Fountain (2-facher Weltmeister), der Niederländer Wim Klein, Jan van Koningsveld (mehrfacher Welt- und Vizeweltmeister, Doppel-Olympiasieger 2008, sowie mehrfacher Weltrekordhalter), Zacharias Dase, der Großmeister und achtmalige Weltmeister im Kopfrechnen Gert Mittring, der Zahlenkünstler Rüdiger Gamm und das Sprachengenie Hans Eberstark. In seinem Buch The great mental calculators beschreibt Smith noch weitere. Auch sogenannte Savants können durch besondere Fähigkeiten im Kopfrechnen (Kalenderrechnen, Wurzelaufgaben) oder durch ein enormes Gedächtnis (sie haben beispielsweise ganze Telefonbücher im Kopf) auffallen.

Man kann den Titel Großmeister im Kopfrechnen erringen, wie beispielsweise Gert Mittring bei der 9. Mind Sports Olympiad 2005 in Manchester. Seit 2004 gibt es offizielle Weltmeisterschaften im Kopfrechnen, die alle zwei Jahre stattfinden. Am 1. Juli 2008 wurde sie in Leipzig ausgetragen. 2010 gewann die elfjährige Priyanshi Somani aus Indien die Weltmeisterschaft in Magdeburg.

Die 1. Kopfrechenweltmeisterschaft für Kinder und Jugendliche unter der Leitung von Gert Mittring fand 2008 in Nürnberg statt. 2009 gab es die 1. Deutsche Kopfrechenmeisterschaft für Kinder und Jugendliche in Köln.

Rechentricks

Es gibt einige Methoden, um gewisse Rechnungen einfacher im Kopf durchzuführen. Eine Möglichkeit, um zwei Zahlen zu multiplizieren ist die Verwendung der binomischen Formel:

$(x+y) \cdot (x-y)= x^2 - y^2$

Um zwei Zahlen a und b zu multiplizieren, muss man sie nur in dieser Form darstellen:

$a \cdot b= \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

Diese Formel, im Englischen Quarter Squares Rule genannt, kann aus der ersten und zweiten Binomischen Formel hergeleitet werden:

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 - a^2 + 2 \cdot a \cdot b - b^2 = 4 \cdot a \cdot b$

Daraus folgt

$a \cdot b = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4} = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

Beispiel:

$18 \cdot 14$

Nach dieser Methode muss man nur das Quadrat von $\frac{18 +14}{2} = 16$ und von $\frac{18 -14}{2} = 2$ wissen. Da 16² = 256 und 2² = 4 ergibt sich mit obiger Formel

$18 \cdot 14 = 16^2 - 2^2 = 256 - 4 = 252$

Diese Methode ist einfach für jemanden, der die Quadratzahlen auswendig beherrscht. Falls beide Faktoren gerade oder ungerade sind, reicht es die Quadrate der natürlichen Zahlen zu wissen. Sehr einfach wird dies, wenn die Faktoren in der Nähe von Vielfachen von 10 liegen: Zum Beispiel:

$18 \cdot 22 = (20)^2 - 2^2 = 400 - 4 = 396$.

Eine ebenfalls sehr einfache Methode für die Multiplikation von zweistelligen Zahlen unter 20 ist die folgende: Man addiert die hintere Ziffer der einen Zahl zur anderen Zahl und multipliziert mit 10. Danach addiert man zu diesem Resultat das Produkt der beiden Einer-Ziffern:

$14 \cdot 17 = (14+7) \cdot 10 + 4 \cdot 7 = 210 + 28 = 238$

(Dieses Prinzip funktioniert analog mit allen Multiplikationen so, bei denen Multiplikand und Multiplikator aus derselben "Zehnerreihe" stammen: 25·24 ergibt (25+4)·20+(4·5)=580+20=600 (Multiplikation mit 20), 36·32 ist (36+2)·30+(6·2)=1140+12=1152 (Mult. mit 30) )

Ein weiterer Trick kann für die Quadrierung von Zahlen angewendet werden, die auf Fünf enden. Man addiert bei der einen Zahl vor der Fünf 1 hinzu, multipliziert dies mit der anderen Zahl vor der Fünf und hängt an das Ergebnis einfach die 25 an.

Beispiel:

$35 \cdot 35 = 1225$

Rechnung:

$3 \cdot (3 + 1) = 12$

und die 25 anhängen ergibt 1225.

Auch Quadratzahlen, deren Nachbar bekannt ist, sind leicht erreichbar: Gesucht sei das Quadrat von 26 und bekannt das Quadrat von 25 (625): Diese drei vorgenannten Zahlen sind nur zu addieren, also 625 + 25 + 26 = 676. Für 24 gilt analog: 625 - 25 - 24 = 576. Für den übernächsten Nachbarn 27 ergibt sich 625 + 25 + 26 + 26 + 27 = 729. Hier ist es einfacher, die mittlere Zahl (26) mal vier zu nehmen (104) und zu 625 zu addieren.

Sämtliche Quadratzahlen bis 100 sind somit leicht erreichbar: Die Quadrate der Zahlen mit Endziffer 0 sollte man im Kopf haben, zu Endziffer 5 siehe vorhergehende Methode, mit Endziffern 1, 2, 6 und 7 gilt die Dazuzählmethode, mit Endziffern 3, 4, 8, 9 die Abziehmethode.

Multiplikation mit 11

Multiplikationen mit 11 sind ganz einfach. Man nimmt die erste Ziffer der Zahl und die letzte, dazwischen schreibt man die Summe der beiden Ziffern.

Also: 11 x 13 ⇒ die 1 der 13 ist die erste Ziffer, die 3 der 13 die letzte Ziffer und in die Mitte kommt 1 + 3.

1 1+3 3 = 143

Vorsicht bei Rechnungen, bei denen die Summe der Addition 10 oder mehr beträgt.

Bsp.: 11 · 47 = 517

Hier rechnen: 4 + 7 = 11, die erste 1 zur 4 addieren, die zweite 1 stehen lassen, die 7 dranhängen

Auch dreistellige Zahlen sind kein Problem: 123 · 11 ⇒ die 1 der 123 ist die erste Ziffer, die 3 der 123 die letzte Ziffer, dazwischen die beiden Summen aus 1+2 und 2+3.

1 1+2 2+3 3 = 1353

Literatur

Das Standardwerk:

• Ronald W. Doerfler: Dead reckoning - Calculating without instruments. Gulf Publishing, London u.a. 1993, ISBN 0-88415-087-9.

Weitere Literatur:

• Armin Schonard, Cordula Kokot: Der Matheknüller. Schnellere und leichtere Rechenmethoden neu entdeckt. Genial einfach – einfach genial. Selbstverlag, 2006, ISBN 978-3-00-017801-6.

Weblinks

• Kopfrechen-Trainer mit JavaScript