Ziegenproblem

Das Problem: Hinter einer von drei Türen befindet sich ein Auto, hinter den anderen je eine Ziege. Mit der Aussicht auf den Gewinn des Autos wählt der Kandidat ein Tor. Anschließend öffnet der Moderator von den verbleibenden 2 Toren immer eines hinter dem sich eine Ziege verbirgt. Er bietet dann dem Kandidaten an, das Tor zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, das Tor zu wechseln?

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach dem Moderator der amerikanischen Spielshow Let's make a deal, Monty Hall) ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Problem und Lösung

Problem

Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde:

1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig hinter drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, so dass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind (dem Moderator jedoch bekannt).
3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.
5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?

Lösung

Der Kandidat sollte das Tor wechseln. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt dann 2/3 (gegenüber 1/3, wenn er nicht wechselt).

Erklärung der Lösung

Vereinfachte Erklärung

In zwei von drei Fällen zeigt der Kandidat zunächst auf das falsche Tor. Weil diese Wahrscheinlichkeit durch das Öffnen eines Ziegentors nicht beeinflusst wird, führt der Wechsel auch in zwei von drei Fällen zum Erfolg.

Im Folgenden wird die Argumentation visuell dargestellt. Dabei wird angenommen, dass der Kandidat das erste Tor wählt. Die Darstellungen für die anderen Fälle sind aber entsprechend.

Der Kandidat wählt Tor 1
Auto hinter Tor 2	Auto hinter Tor 1		Auto hinter Tor 3
Der Moderator kann nur Tor 3 öffnen	Der Moderator öffnet eins der Tore mit einer Ziege		Der Moderator kann nur Tor 2 öffnen
Wahrscheinlichkeit 1/3	Wahrscheinlichkeit 1/6	Wahrscheinlichkeit 1/6	Wahrscheinlichkeit 1/3
Der Moderator hat das Tor 3 geöffnet		Der Moderator hat das Tor 2 geöffnet
Wechseln gewinnt das Auto	Wechseln gewinnt eine Ziege	Wechseln gewinnt eine Ziege	Wechseln gewinnt das Auto
Wechseln gewinnt in 2 von 3 Fällen das Auto		Wechseln gewinnt in 2 von 3 Fällen das Auto

Ganz offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeit, ein Auto zu verbergen, für die bislang nicht gewählte Tür doppelt so hoch wie für die schon gewählte.

Beweis

Dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel 2/3 beträgt, wird an dem Beispiel gezeigt, dass der Kandidat zunächst Tor 1 wählt und der Moderator das Ziegentor 3 öffnet. Für die anderen möglichen Kombinationen verläuft der Beweis aus Symmetriegründen völlig analog.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto hinter Tor 2 steht und der Moderator Tor 3 öffnet, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 1 steht und der Moderator Tor 3 öffnet.

Denn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Moderator Tor 3 öffnet, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, ist nach Spielregel 5 gleich 1, während die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er Tor 3 öffnet, wenn das Auto hinter Tor 1 steht, nach Spielregel 4 gleich 1/2 ist.

Da zu Beginn des Spiels nach Spielregel 1 das Auto mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/3 hinter Tor 1 oder Tor 2 steht, ergibt sich daraus die Ausgangsthese.

Denn die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten 1 und 1/2 müssen jetzt nur noch jeweils mit dem gleichen Faktor 1/3 multipliziert werden, um die Verbundwahrscheinlichkeiten für Tor 2 und Tor 1 bei geöffnetem Ziegentor 3 zu erhalten:

1 * (1/3) = 1/3 bzw. (1/2) * (1/3) = 1/6

Für Tor 2 ergibt sich damit die Gewinnwahrscheinlichkeit (1/3) / (1/3 + 1/6) = 2/3, für Tor 1 die Gewinnwahrscheinlichkeit (1/6) / (1/3 + 1/6) = 1/3.

Beweis durch Fallbetrachtung

Im Folgenden wird der Fall angenommen, dass der Kandidat zunächst auf Tor 1 zeigt. Die Begründung für die anderen beiden Fälle verläuft völlig analog. Die in Klammern angegebenen Zahlen beziehen sich zur Begründung der jeweiligen Aussage auf die entsprechende Bedingung der oben aufgeführten Aufgabenstellung.

In 1/3 der Fälle steht das Auto hinter Tor 1. (1) In der Hälfte dieser Fälle, also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, in einem weiteren Sechstel Tor 3. (4)

In 2/3 der Fälle steht das Auto hinter Tor 2 oder Tor 3, und zwar in der einen Hälfte dieser Fälle hinter Tor 2, in der anderen Hälfte hinter Tor 3. (1) Entsprechend wird in der einen Hälfte dieser Fälle, also in einem Drittel der Gesamtzahl der Fälle, vom Moderator Tor 2 geöffnet, in der anderen Hälfte Tor 3. (5)

Durch das Öffnen des Nietentors 2 oder 3 reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tor 2 oder 3 steht, um die Hälfte, also auf 1/3 der Gesamtzahl der Fälle.

Außerdem reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tor 1 steht, ebenfalls um die Hälfte, also auf 1/6 der Gesamtzahl der Fälle.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für dasjenige der Tore 2 oder 3, das der Moderator nicht geöffnet hat, beträgt also (1/3)/(1/6 + 1/3) = 2/3.

Das Ergebnis kann man auch so ausdrücken:

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Tor 1 ist eine Invariante des Spiels; ebenso die Gewinnwahrscheinlichkeit für „Tor 2 oder 3“.

Formeller Beweis

Es sind die Ereignisse definiert:

$M_{A}$: Der Moderator hat das Tor A geöffnet

$G_{A}$: Der Gewinn ist im Tor A

analog für die Indizes B und C

Es liege beispielsweise folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor A gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor B geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor C ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(G_{C}|M_{B})$, dass das Auto hinter Tor C ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor B ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayestheorem ermitteln.

Auf Grund der Aufgabenstellung liegen folgende Voraussetzungen vor:

${\begin{aligned}&P\left(G_{A}\right)=P\left(G_{B}\right)=P(G_{C})={\tfrac {1}{3}}&(1)\\&P\left(M_{B}\mid G_{A}\right)={\tfrac {1}{2}}&(4)\\&P\left(M_{B}\mid G_{B}\right)=0&(5)\\&P\left(M_{B}\mid G_{C}\right)=1&(5)\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann Folgendes:

${\begin{aligned}P\left(G_{C}\mid M_{B}\right)&={\frac {P\left(M_{B}\mid G_{C}\right)P(G_{C})}{P(M_{B}\mid G_{A})P(G_{A})+P(M_{B}\mid G_{B})P(G_{B})+P(M_{B}\mid G_{C})P(G_{C})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {2}{3}}.\end{aligned}}$

Der Kandidat sollte wechseln.

Begründung über Wertetabelle

Nach Schritt drei der Problemstellung ergeben sich neun mögliche Kombinationen aus erster Wahl des Kandidaten und Position des Autos:

Wahl=1 und Auto=1 
Wahl=1 und Auto=2 *
Wahl=1 und Auto=3 *
Wahl=2 und Auto=1 *
Wahl=2 und Auto=2
Wahl=2 und Auto=3 *
Wahl=3 und Auto=1 *
Wahl=3 und Auto=2 *
Wahl=3 und Auto=3

Mit dem Stern sind die Kombinationen markiert, bei denen Wechseln zum Gewinn des Autos führt. Es sind sechs der neun Möglichkeiten. Durch das später stattfindende, regelkonforme Öffnen einer Tür ändert sich nichts mehr an diesen Verteilungen, also führt in sechs von neun oder 2/3 der Fälle Wechseln zum Gewinn des Autos.

Schema für die „Wechselstrategie“

Für die folgende Erklärung wird festgelegt, dass der Kandidat Tor 1 wählt. (Die gleiche Erklärung lässt sich auch für Tor 2 oder Tor 3 durchführen.) Das Auto steht hinter einem der drei Tore. Wählt der Kandidat die Immer-Wechseln-Strategie, dann führt das in den drei Situationen zu folgendem Resultat.

	Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird entweder die Ziege von Tor 2 oder Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel verliert er.
	Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.
	Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 2 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.

Fazit: Er gewinnt in zwei von drei Fällen durch einen Wechsel.

Erklärung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes

Entscheidungsbaum zum Ziegenproblem. Das Auto steht hinter Tor A

Beim Schätzen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten ist es wichtig, keine Informationen, die zur Verfügung stehen, zu übersehen: hier ein Entscheidungsbaum für das Problem. Annahme bei diesem Entscheidungsbaum: Das Auto befindet sich hinter dem Tor A.

Leserbrief an Marilyn vos Savant

Ein Leserbrief von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland an Marilyn vos Savant enthielt die folgende Aufgabenstellung:

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?‘ Ist es von Vorteil, das Tor Nummer 2 zu wählen?“

– Game-Show-Problem

Gegenüber der Definition des Ziegenproblems in diesem Artikel fehlen unter anderem zwei wesentliche Punkte: die Regeln für den Showmaster sind nicht formuliert und es ist nicht ersichtlich, ob der Kandidat die Regeln kennt. Damit der Kandidat trotzdem mindestens eine 50-prozentige Chance auf den Gewinn hat, muss er zufällig eines der beiden verbleibenden Tore öffnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Wechsel wäre beispielsweise Null, wenn der Showmaster nur anbietet zu wechseln, wenn hinter dem gewählten Tor ein Auto steht. Sie beträgt 50 %, wenn er das vom Teilnehmer gewählte Tor öffnet und dahinter eine Ziege ist. Sie ist nicht wohldefiniert, wenn der Showmaster die entsprechenden Strategien willkürlich ändert.

In ihrer ersten Antwort auf den Leserbrief erklärte Marilyn vos Savant die Lösung des Problems ähnlich wie bei „eine Million Tore“ dargestellt.

Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief, die richtige – aber unerwartete – Strategie sei „immer wechseln“, wurde das Problem international auch außerhalb der Mathematik in großem Maße bekannt und erzielte große Aufmerksamkeit und Kontroversen.

Ähnliche Aufgaben

Zum Ziegenproblem gibt es mit dem Drei-Kasten-Problem und dem Gefangenenparadoxon zwei Aufgaben, die die gleiche Problematik mit anderen Hintergrundgeschichten erzählen. Daneben gibt es noch die Spielshow Geh aufs Ganze!, die zwar Ähnlichkeiten mit dem Ziegenproblem aufweist, aber letztendlich ein anderes Problem darstellt.

Bertrands Schachtelparadoxon

Bei Joseph Bertrands Drei-Kasten-Problem aus dem Jahr 1889 gibt es drei Kästen mit je zwei geschlossenen Schubladen. Im ersten Kasten liegt in jeder Schublade eine Goldmünze. Im zweiten Kasten liegt in jeder Schublade eine Silbermünze und im dritten Kasten liegt in der einen Schublade eine Gold- und in der anderen eine Silbermünze. Jemand wählt zufällig einen Kasten aus und öffnet ebenso zufällig eine der beiden Schubladen. In dieser liegt eine Goldmünze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist nach dem Öffnen der Schublade in der anderen Schublade eine Silbermünze? Die Antwort ist 1/3.

Gefangenenparadoxon

→ Hauptartikel: Gefangenenparadoxon

Beim Gefangenenparadoxon aus dem Jahr 1959 spielt die Hintergrundgeschichte in einem Gefängnis. Dort sitzen drei zum Tode verurteilte Gefangene: Anton, Brigitte und Clemens. Genau einer von ihnen soll begnadigt werden. Dazu wird ein Los gezogen, das allen die gleiche Chance gibt, begnadigt zu werden. Der Gefangene Anton bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte oder Clemens zu nennen, der oder die sterben muss. Der Wärter antwortet ‚Brigitte‘. Wie hoch ist nun Antons Überlebenswahrscheinlichkeit? Auch hier ist die Antwort 1/3.

Geh aufs Ganze!

→ Hauptartikel: Geh aufs Ganze!

Das Ziegenproblem ähnelt der Spielshow Geh aufs Ganze!, unterscheidet sich aber in einem wesentlichen Punkt: Beim Ziegenproblem ist immer genau ein Gewinn vorhanden. Bei Geh aufs Ganze können auch mehrere und wertmäßig unterschiedliche Gewinne vorhanden sein, unter anderem auch ein offenes Geldangebot in bar. Der Moderator bietet dem Spieler Geld, wenn er sich umentscheidet und das vom Moderator gewollte Tor nimmt. Der Moderator feilscht regelrecht mit dem Spieler, erhöht sein Angebot (100, 200, 300… Euro) und geht bis zu einem Limit, das der Spieler vorher nicht kennt. Wenn sich dann der Spieler nicht sofort für das Geld entscheidet, ist das Angebot weg und der Spieler muss das gewählte Tor nehmen. Deshalb unterscheidet sich hier die optimale Strategie. Sie hängt maßgeblich von der Risiko-Aversion des Kandidaten ab. Der Moderator erhöht schrittweise die sichere Alternative (das Geldangebot), bleibt dabei jedoch unter dem Wert des Hauptpreises. Der Kandidat muss entscheiden, ob ihm das sichere Geldangebot mehr wert ist als die Chance auf den Hauptgewinn. Die Entscheidungstheorie nennt dies das Sicherheitsäquivalent.

Literatur

• Gero von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X, Neuauflage: Rowohlt, Reinbek 2004, ISBN 3-499-61905-9
• Olle Häggström: Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-23050-5
• Henk Tijms: Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-83329-9
• Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis – Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. Berlin-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-8270-0079-3
• Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik, Seite 54 f, Gruyter, August 2004, ISBN 3-11-018282-3
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Vieweg 1997, ISBN 3-528-06894-9, S. 51-52, 105-107
• Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell: Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. 4. Juli 2006 (pdf [abgerufen am 2. April 2008] Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell). 

Weblinks

Commons: Ziegenproblem – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Ziegenproblem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Info zum Ziegenproblem, Evaluation, Statistik, Selbstest
• Recht anschauliche Beschreibung
• Kurze Erklärung und Möglichkeit zum selbst Nachspielen
• Die Zeit: Das Rätsel der drei Türen
• Matheprisma der Uni Wuppertal: Ziegenproblem – Online Simulation, bedingte und totale Wahrscheinlichkeit, Bayes-Formel
• zeit.de 22. Juli 2010: Der maliziöse Moderator. - Ein Statistiker wirft einen neuen Blick auf das alte »Ziegenproblem«. (Christoph Drösser)