Diophantische Gleichung

In der algebraischen Zahlentheorie ist eine diophantische Gleichung (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos von Alexandria, um 250) eine Gleichung der Form $f(x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{n})=0$, wobei $f$ eine gegebene Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten ist und nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden. Diese Einschränkung der Lösungsmenge ist sinnvoll und nötig, wenn Teilbarkeitsfragen beantwortet werden sollen, wenn es sich um Probleme der Kongruenzarithmetik handelt oder wenn bei Problemen in der Praxis nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind, z. B. für die Stückzahlverteilung bei der Herstellung von mehreren Produkten.

Beispiele

• $X^{2}-Y=0$ besitzt als Lösung $(X,Y)$ die Zahlenpaare …, (–3,9), (−2,4), (–1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), …; allgemein: $(X,Y)=\left(n,n^{2}\right)$ mit $n\in \mathbb {Z} .$
• $X^{4}+Y^{2}+Z^{20}=-7$ ist unlösbar, weil die linke Seite der Gleichung (als Summe von Quadraten) niemals negativ ist.
• $3X=4$ besitzt keine Lösung, weil 4 nicht durch 3 teilbar ist und es daher keine ganze Zahl gibt, deren 3-Faches 4 ergibt.

Lineare diophantische Gleichung

→ Hauptartikel: Lineare diophantische Gleichung

Diophantische Gleichungen, in denen keine höheren als erste Potenzen der Unbekannten vorkommen, nennt man linear. Für sie gibt es Algorithmen, mit deren Hilfe man stets nach endlich vielen Schritten alle Lösungen findet.

Berühmte diophantische Gleichungen

Pythagoreische Tripel

→ Hauptartikel: Pythagoreisches Tripel

Die ganzzahligen Lösungen von $X^{2}+Y^{2}=Z^{2}$ bilden die sogenannten pythagoreischen Tripel. Man findet sie im Wesentlichen durch den Ansatz

$X=u^{2}-v^{2}$

$Y=2uv$

$Z=u^{2}+v^{2}$

Fermats letzter Satz

→ Hauptartikel: Großer fermatscher Satz

Wenn man obige Gleichung zu $X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$ verallgemeinert, erhält man eine diophantische Gleichung vom Grad $n$. Als Fermats letzten Satz bezeichnet man die von Pierre de Fermat vor 400 Jahren aufgestellte Behauptung, dass sie für $n>2$ keine ganzzahlige Lösung besitzt (außer den trivialen Lösungen, bei denen eine der Zahlen 0 ist), was erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen wurde.

Pellsche Gleichung

→ Hauptartikel: Pellsche Gleichung

Neben den linearen diophantischen Gleichungen ist die sogenannte Pellsche Gleichung

$x^{2}-Dy^{2}=1$

besonders wichtig, wobei für ein gegebenes $D$ zunächst das kleinste Wertepaar $(x,y)$ zu suchen ist, aus dem sich dann alle anderen Paare leicht finden lassen. Wenn $D$ eine Quadratzahl ist, hat diese Gleichung nur die trivialen Lösungen $(x,y)=(\pm 1,0)$. Die Auflösung der Pellschen Gleichung ist gleichbedeutend mit dem Aufsuchen der Einheiten im Ring der ganzen algebraischen Zahlen des Körpers, der aus dem rationalen Zahlenkörper $\mathbb {Q}$ durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus $D$ entsteht.

Hilberts zehntes Problem

Im Jahr 1900 stellte David Hilbert das Problem der Entscheidbarkeit der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung als zehntes Problem seiner berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen vor. 1970 bewies Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch, dass die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen unentscheidbar ist, es also keinen allgemeinen Algorithmus geben kann, der zu einer beliebigen diophantischer Gleichung feststellt, ob sie lösbar oder unlösbar ist.

Literatur

• Yuri V. Matiyasevich: Hilbert’s Tenth Problem. Foundations of Computing Series. MIT Press, Cambridge MA u. a. 1993, ISBN 0-262-13295-8.

Weblinks

• Christian Spannagel: Diophantische Gleichung. Vorlesungsreihe, 2012.