Doppelpendel

Schematische Zeichnung eines Doppelpendels.

Trajektorie eines idealisierten Doppelpendels

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen. Es ist zugleich eines der einfachsten dynamischen Systeme, welches chaotisches Verhalten zeigt. An die Masse m₁ eines (meist starren, massenlosen) Pendels mit der Länge L₁ wird ein weiteres (meist starres, massenloses) Pendel der Länge L₂ mit Masse m₂ gehängt. Die Herleitung der Bewegungsgleichung zum Berechnen (Lösen) der Bewegung des Doppelpendels wird durch starre Pendelarme enorm erleichtert und ist daher überlich, zumal es auch mit starren Armen chaotisch ist. Zudem wird meist Reibungsfreiheit angenommen.

Das Doppelpendel ist durch seinen Aufbau sensibel abhängig von Anfangsbedigungen, was das wichtigste Charakteristikum eines chaotischen Systems ist. Diese sensible Abhängig zeigt sich im exponentiellen Wachstum von infinitesimalen Störungen in den Anfangsbedingungen. Das Verhalten wird durch den Ljapunow-Exponenten charakterisiert und bemessen. Man kann für Experiment 1 das Pendel von den Anfangsbedingungen x_i starten und dann mit der Bewegungen des Pendeln in Experiment 2 von Anfangsbedingungen x_i + Δx (wobie die Störung Δx infinitesimal klein ist) beobachten. Nach (kurzer) Zeit t lassen sich die beiden Experimente nicht mehr als ähnlich erkennen.

Das Bewegungsmuster lässt sich als chaotische Trajektorien eines nichtlinearen Dynamischen Systems beschreiben.

Herleitung der Bewegungsgleichungen

Wenn $l_{1}$ und $l_{2}$ die Längen der (masselosen) Verbindungsstangen, $m_{1}$ und $m_{2}$ die Pendelmassen, $\theta _{1},\theta _{2}$ die Auslenkung vom Lot und $g$ die Erdbeschleunigung bezeichnet, dann findet man für die Positionen von $m_{1}$und $m_{2}$:

$$x_{1}=l_{1}sin(\theta _{1})$$

$$y_{1}=-l_{1}cos(\theta _{1})$$

und

$$x_{2}=l_{1}sin(\theta _{1})+l_{2}sin(\theta _{2})$$

$$y_{2}=-l_{1}cos(\theta _{1})-l_{2}cos(\theta _{2})$$

Damit lassen sich die Geschwindigkeiten der Massen, welche für den nächsten Schritt notwendig sind, bestimmen, wobei ${\dot {\theta _{1}}}$ die zeitliche Ableitung von $\theta _{1}$ist:

$$u_{1}={\frac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{1}}}={\dot {\theta _{1}}}l_{1}cos(\theta _{1})$$

$$v_{1}={\frac {\partial y_{1}}{\partial \theta _{1}}}={\dot {\theta _{1}}}l_{1}sin(\theta _{1})$$

und

$$u_{2}={\frac {\partial x_{2}}{\partial \theta _{2}}}+u_{1}={\dot {\theta _{2}}}l_{2}cos(\theta _{2})+u_{1}$$

$$v_{2}={\frac {\partial y_{2}}{\partial \theta _{2}}}+v_{1}={\dot {\theta _{2}}}l_{2}sin(\theta _{2})+v_{1}$$

Unter Verwendung des Lagrange-Formalismus ${\textstyle L=T-V}$wobei $T$ die kinetische Energie der beiden Pendelmassen und $V$ ihre potentielle Energie im konstanten Gravitationsfeld ist, mit

$$T_{1}={\frac {1}{2}}m_{1}(u_{1}^{2}+v_{1}^{2})$$

$$T_{2}={\frac {1}{2}}m_{2}(u_{2}^{2}+v_{2}^{2})$$

$$V_{1}=m_{1}gy_{1}$$

$$V_{2}=m_{2}gy_{2}$$

erhält man

$$T=T_{1}+T_{2}={\frac {1}{2}}{\dot {\theta _{1}^{2}}}l_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(m_{2}{\dot {\theta _{2}^{2}}}l_{2}^{2}+m_{2}{\dot {\theta _{1}^{2}}}l_{1}^{2}+2m_{2}{\dot {\theta _{1}}}l_{1}{\dot {\theta _{2}}}l_{2}cos(\theta _{1}-\theta _{2}))$$

$$V=V_{1}+V_{2}=-m_{1}gl_{1}cos(\theta _{1})-m_{2}gl_{1}cos(\theta _{1})-m_{2}gl_{2}cos(\theta _{2})$$

Damit ergibt sich für die Lagrange-Funktion dann

$$L={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\theta _{1}}}^{2}l_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}l_{2}^{2}+m_{2}{\dot {\theta _{1}}}l_{1}{\dot {\theta _{2}}}l_{2}cos(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}cos(\theta _{1})+m_{2}gl_{2}cos(\theta _{2})$$

Unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung

$${\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta _{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{i}}}=0$$

erhält man damit nach einigen Umformungen

$${\ddot {\theta _{1}}}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {l_{2}}{l_{1}}}({\ddot {\theta _{2}}}cos(\theta _{1}-\theta _{2})+{\dot {\theta _{2}^{2}}}sin(\theta _{1}-\theta _{2}))-{\frac {g}{l_{1}}}sin(\theta _{1})$$

$${\ddot {\theta _{2}}}=-{\frac {l_{1}}{l_{2}}}({\ddot {\theta _{1}}}cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\dot {\theta _{1}^{2}}}sin(\theta _{1}-\theta _{2}))-{\frac {g}{l_{2}}}sin(\theta _{2})$$

Das sind die Winkelbeschleunigungen für $\theta _{1}$und $\theta _{2}$und beschreiben die Evolution des Pendels.

In den Bewegungsgleichungen treten Winkelfunktionen ($sin,cos$) der Zustandsgrößen und auch Ableitungen auf. Es handelt sich also um ein nichtlineares System. Im Spezialfall kleiner Auslenkungen als Anfangsbedingungen ($\theta _{1}(t=0),\theta _{2}(t=0)\approx 0$) lassen sich die Bewegungsgleichungen allerdings mittels der Kleinwinkelnäherung vereinfachen. Dann lassen sich beispielsweise weitere Spezialfälle wie $m_{1}\ll m_{2}$ oder $m_{1}\gg m_{2}$ mit analytischen Ansätzen betrachten, die eine näherungsweise harmonische Lösung, welche auch analytisch bestimmt werden kann, besitzen.

Lösung der Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten ${\textstyle {\theta _{1}}}$ und ${\textstyle {\theta _{2}}}$ stellen ein nichtlineares System von zwei partiellen, gekoppelten Differentialgleichungen dar, welches analytisch nicht lösbar ist. Es kann bei vier bekannten Anfangswerten ($\theta _{1},\theta _{2},{\dot {\theta _{1}}},{\dot {\theta _{2}}}$) mit numerischen Verfahren gelöst werden. Hierbei werden also die anfänglichen Auslenkungen z.B. 30° und 30° und die anfänglichen Geschwindigkeiten z.B. ${\textstyle 0{\frac {m}{s}}}$ und ${\textstyle 0{\frac {m}{s}}}$eingegeben und damit dann die Evolution des Pendels berechnet.

Mittels Trigonometrie können die Winkel ${\theta _{1}}$ und ${\theta _{2}}$ in die kartesischen Koordinaten $(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})$ der Massenpunkte überführt werden.

Anwendungen

Eine Kirchenglocke mit Klöppel bildet ein Doppelpendel.

Siehe auch

• Magnetisches Pendel
• Multipendel
• KAM-Theorem
• Kirchenglocke

Weblinks

Commons: Double pendulums – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Java-Doppelpendel (englisch)
• Doppelpendel-Simulation in Java und Python (deutsch)
• Doppelpendel - Grenzen der Simulation zeigt, dass die Bewegung stets nur für eine kurze Zeitspanne simuliert werden kann
• Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels (englisch)