Satz von der monotonen Konvergenz

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},\mu )$ ein Maßraum. Ist $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}\colon \Omega \to [0,\infty ]$, die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion $f\colon \Omega \to [0,\infty ]$ konvergiert, so gilt

$\int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu .$

Variante für fallende Folgen

Ist $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}\colon \Omega \to [0,\infty ]$ mit $\int _{\Omega }f_{1}\ \mathrm {d} \mu <\infty$, die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion $f\colon \Omega \to [0,\infty ]$ konvergiert, so gilt ebenso

$\int _{\Omega }f\ \mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu .$

Beweisidee

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {E} (X_{n})=\operatorname {E} \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}\right)$.

Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {A}}$ eine Teil-$\sigma$-Algebra und $\lim _{n\to \infty }X_{n}$ integrierbar, so gilt fast sicher

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {E} (X_{n}\mid {\mathcal {G}})=\operatorname {E} \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}\mid {\mathcal {G}}\right).$

Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},\mu )$ wieder ein Maßraum. Für jede Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}\colon \Omega \to [0,\infty ]$ gilt

$\int _{\Omega }\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\Omega }f_{n}\ \mathrm {d} \mu .$

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge $\textstyle s_{N}=\sum _{n=1}^{N}f_{n}$ der Partialsummen. Da die $f_{n}$ nichtnegativ sind, ist $(s_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ monoton wachsend.

Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Lemma von Fatou

Literatur

• Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence, RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.