Additive Funktion

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Eine additive, subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte. Es sind bestimmte Klassen von Funktionen. Lineare Abbildungen sind besondere additive Funktionen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion heißt additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

erfüllt.[1] Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von -Linearität.

Sub- und Superadditive Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Halbgruppe mit der Verknüpfung , so heißt eine Abbildung subadditiv, wenn für alle x und y aus gilt:[2]

.

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle und aus gilt:[2]

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.
  • Ist eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl von Elementen aus :
Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der Zahlentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei zahlentheoretischen Funktionen betrachtet man als Verknüpfung auf die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

für alle teilerfremden und gilt. Gilt dies sogar für alle und , so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Prasanna Sahoo, Thomas Riedel: Mean Value Theorems and Functional Equations. 1998, ISBN 978-981-02-3544-4, S. 1.
  2. a b Josip E. Peajcariaac, Y. L. Tong: Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press, 1992, ISBN 978-0-12-549250-8, S. 8.