Asymptotische Statistik

Die asymptotische Statistik ist ein Teilgebiet der mathematischen Statistik, in welchem Eigenschaften von Zufallsstichproben und auf diesen beruhenden statistischen Verfahren für über alle Grenzen wachsenden Stichprobenumfang untersucht werden. Beispielsweise interessiert die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Stichprobenfunktion bei über alle Grenzen wachsendem Stichprobenumfang.

Eine Abgrenzung zur asymptotischen Statistik sind statistische Verfahren für festen oder endlichen Stichprobenumfang.

Grundlegende Ergebnisse der asymptotischen Statistik sind:

• der Hauptsatz der mathematischen Statistik über die Annäherung der empirischen Verteilungsfunktion einer Zufallsstichprobe an die Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit,
• das Gesetz der großen Zahlen über die Annäherung des arithmetischen Mittelwertes einer Zufallsstichprobe an den Mittelwert einer endlichen Grundgesamtheit oder allgemeiner an den Erwartungswert der Verteilung einer Grundgesamtheit,
• der Zentrale Grenzwertsatz über die asymptotische Verteilung von Summen,
• der Satz von Donsker über die asymptotische Verteilung empirischer Prozesse,
• Sätze über die asymptotischen Verteilungen des Maximums und des Minimums von Zufallsstichproben.

Methoden der asymptotischen Statistik sind neben der Verwendung der Gesetze der großen Zahlen und der Grenzwertsätze der Statistik z. B. die Delta-Methode, Slutzkys Theorem und der Satz über Typenkonvergenz.

Literatur

• Anirban DasGupta: Asymptotic Theory of Statistics and Probability. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-75970-8, doi:10.1007/978-0-387-75971-5. 
• Norbert Henze: Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik. Springer Spektrum, Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65610-5, doi:10.1007/978-3-662-65611-2. 
• Lucien Le Cam, Grace Lo Young: Asymptotics in Statistics - Some Basic Concepts. 2. Auflage. Springer, New York 2000, ISBN 0-387-95036-2. 
• Hermann Witting, Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Teubner, Stuttgart 1995, ISBN 978-3-322-90153-8, doi:10.1007/978-3-322-90152-1. 
• Robert J. Serfling: Approximation Theorems of Mathematical Statistics. Wiley, New York 1980, ISBN 0-471-21927-4. 
• Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4.