Benutzer:Chrgue/Gram-Punkt

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Jørgen Pedersen Gram (1850–1916)

Der Begriff Gram-Punkt stammt aus der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Gram-Punkte sind bestimmte reelle Zahlen, die in einer engen, aber noch nicht hinreichend erforschten Beziehung zu den sogenannten nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion stehen. Sie sind definiert als die reellen Lösungen der Gleichung

$\sin(\theta (t))=0$.

Dabei bezeichnet $\textstyle \sin$ die Sinusfunktion und $\textstyle \theta$ die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion. Wegen ihrer Beziehung zu den nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion gehören Gram-Punkte zu den Hilfsmitteln bei der Untersuchung der Riemannschen Vermutung, einem wichtigen, ungelösten Problem der Mathematik, dessen Lösung Aussagen über die Verteilung der Primzahlen gestatten würde.

In dem Bestreben, Klarheit über die genaue Lage der nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion zu gewinnen, wurden mehrere Thesen vorgeschlagen, die das Verhältnis zwischen den Positionen von Gram-Punkten und jenen nicht-trivialen Nullstellen allgemeingültig beschreiben sollten. Für diese Thesen hat sich meist irreführend der Name "Gesetz" oder "Regel" eingebürgert (z.B. Grams Gesetz, Rossers Regel), auch wenn sie nicht für alle Gram-Punkte gelten. Das genaue Verhältnis von Gram-Punkten zu Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion entzieht sich also bislang einer präzisen Beschreibung.

Gram-Punkte tragen ihren Namen nach dem dänischen Mathematiker Jørgen Pedersen Gram. Er veröffentlichte 1903 eine Arbeit über die Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion. Dort betrachtete er auch die Nullstellen der Funktion $\textstyle \sin \theta$, die heute Gram-Punkte heißen.

Definition und Beispiele

Riemann-Siegelsche Theta-Funktion mit reellem Argument.

Der Sinus der Riemann-Siegelschen Thetafunktion für -12<t<50. Die Nullstellen der blauen Kurve sind Gram-Punkte. Da die erste Ableitung der Theta-Funktion für größer werdendes Argument leicht wächst, verkürzen sich die Abstände zwischen Gram-Punkten allmählich.

Bezeichnen $\textstyle \sin$ und $\textstyle \theta$ die Sinus- bzw. Riemann-Siegelsche Theta-Funktion, so heißen die reellen Nullstellen der Funktion $\textstyle \sin \theta$ Gram-Punkte . Ist also $\textstyle g\in \mathbb {R}$ und $\textstyle \sin(\theta (g))=0$, so nennt man $\textstyle g$ einen Gram-Punkt. Da die Sinusfunktion ihre Nullstellen in den ganzzahligen Vielfachen der Kreiszahl $\textstyle \pi$ annimmt, ist ein reelles $\textstyle g$ genau dann ein Gram-Punkt, wenn $\theta (g)=k\pi$ für ein $\textstyle k\in \mathbb {Z}$ erfüllt ist. Insbesondere sind die drei reellen Nullstellen von $\textstyle \theta$ Gram-Punkte. Die größte dieser Nullstellen in $\textstyle 17,84559\ldots$ erhält üblicherweise die Nummer 0 und der Gram-Punkt mit diesem Wert den Namen $\textstyle g_{0}$ oder $\textstyle \gamma _{0}$. Ausgehend vom nullten Gram-Punkt werden Gram-Punkte mit größerem Wert aufsteigend nummeriert, solche mit kleinerem Wert absteigend. Die nachfolgende Tabelle zeigt die ersten, nicht-negativen Gram-Punkte:

$n$	$g_{n}$	$\theta (g_{n})$
-3	0	0
-2	3.4362182261...	-π
-1	9.6669080561...	-π
0	17.8455995405...	0
1	23.1702827012...	π
2	27.6701822178...	2π
3	31.7179799547...	3π
4	35.4671842971...	4π
5	38.9992099640...	5π
6	42.3635503920...	6π
7	45.5930289815...	7π
8	48.7107766217...	8π
9	51.7338428133...	9π
10	54.6752374468...	10π
11	57.5451651795...	11π
12	60.3518119691...	12π
13	63.1018679824...	13π
14	65.8008876380...	14π
15	68.4535449175...	15π

Zusammenhang mit der Riemannschen Zeta-Funktion

Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Zahlenebene. Unterschiedliche Farben kodieren unterschiedliche Argumente der komplexen Funktionswerte der Zeta-Funktion. Helligkeit steht für größere, Dunkelheit für kleinere Absolutbeträge der Funktionswerte. Die im Bild sichtbaren, nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Gerade durch 1/2 und sind dort als schwarze Punkte erkennbar. Der weiße Punkt in 1 kennzeichnet die Polstelle der Zeta-Funktion.

Neben ihren sogenannten trivialen Nullstellen in -2, -4, -6, -8, usw. besitzt die Riemannsche Zeta-Funktion $\textstyle \zeta$ auch unendlich viele, sogenannte nicht-triviale Nullstellen, von denen bekannt ist, dass ihre Realteile zwischen 0 und 1 liegen. Bernhard Riemann äußerte 1859 die Vermutung, alle nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt, würde aber genauere Aussagen über die Verteilung der Primzahlen gestatten, einer zentralen Grundfrage der Zahlentheorie. Zwar konnte mit Hilfe numerischer Computerberechnungen die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung für mehrere Milliarden nicht-trivialer Nullstellen gezeigt werden – ein allgemeingültiger Beweis dieser These oder ein Gegenbeispiel stehen aber noch aus.

Riemannsche Xi-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

Mit Blick auf die Riemannsche Vermutung versucht man zunächst, die nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion zu untersuchen, die auf der kritischen Geraden liegen, also tatsächlich den Realteil 1/2 besitzen und somit die Riemannsche Vermutung erfüllen. Hierbei ist es vorteilhaft, sich der trivialen Nullstellen der Zeta-Funtion und ihrer Polstelle in 1 zu entledigen. Genau dieses leistet die Riemannschen Xi-Funktion $\textstyle \xi$, welche für komplexes $s\in \mathbb {C}$ definiert ist durch

$\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).$

Dabei bezeichnen $\textstyle \pi$ die Kreiszahl und $\textstyle \Gamma$ die Gammafunktion. Auf der rechten Seite der Definition eliminieren die Faktoren vor $\textstyle \zeta (s)$ die trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion sowie deren Polstelle in 1. Die Nullstellen der Xi-Funktion stimmen also mit den nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion überein. Besser noch, die Xi-Funktion nimmt entlang der kritischen Geraden nur reelle Werte an, d.h. $\textstyle \xi ({\frac {1}{2}}+it)\in \mathbb {R}$ für alle $\textstyle t\in \mathbb {R}$, wobei $\textstyle i$ für die imaginäre Einheit steht. Damit werden Methoden der reellen Analysis für die Untersuchung der Nullstellen der Zeta-Funktion mit Realteil 1/2 einsetzbar. Insbesondere können einfache Nullstellen durch die Suche nach Vorzeichenwechseln entlang der kritischen Geraden bestimmt werden – eine Möglichkeit, die die Zeta-Funktion vorenthält, da sie entlang der kritischen Geraden auch nicht-reelle Werte annimmt.

Nach Einsetzen von $\textstyle {\frac {1}{2}}+it$ in die Definition von $\textstyle \xi$, einfachem Zusammenfassen und Sortieren der erhaltenen Faktoren ergibt sich nun folgendes Bild:

${\begin{aligned}\xi \left({\frac {1}{2}}+it\right)&=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\left(-{\frac {1}{2}}+it\right)\pi ^{-{\frac {1}{4}}-{\frac {it}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)\\&=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{4}}+t^{2}\right)\pi ^{-{\frac {1}{4}}-{\frac {it}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)\\&=\left[-{\frac {1}{2}}\cdot e^{\operatorname {Re} \log \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)}\cdot \pi ^{-{\frac {1}{4}}}\cdot \left({\frac {1}{4}}+t^{2}\right)\right]\cdot \left[e^{i\operatorname {Im} \log \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)}\cdot \pi ^{-{\frac {it}{2}}}\cdot \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)\right].\end{aligned}}$

Dabei bezeichnen $\textstyle \operatorname {Re}$ und $\textstyle \operatorname {Im}$ den Real- bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl; $\textstyle \log$ ist die Logarithmusfunktion.

Literatur

• Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney, Andrea Weirathmueller: The Riemann Hypothesis. Springer New York, New York, NY 2007, ISBN 978-0-387-72125-5, Abschnitt 3.5, S. 33–34 (englisch). 
• Richard P. Brent: On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. In: Mathematics of Computation. Band 33, Nr. 148, 1979, ISSN 0025-5718, S. 1361–1372, doi:10.1090/S0025-5718-1979-0537983-2 (englisch). 
• R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter: On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. II. In: Mathematics of Computation. Band 39, Nr. 160, 1982, ISSN 0025-5718, S. 681–688, doi:10.1090/S0025-5718-1982-0669660-1 (englisch). 
• Harold M. Edwards: Riemann's zeta function. Dover Publications, Mineola, NY 2001, ISBN 0-486-41740-9, Abschnitt 6.5, S. 119–127 (englisch). 
• Aleksandar Ivić: The Theory of Hardy's Z-Function (= Cambridge Tracts in Mathematics. Band 196). Cambridge University Press, New York, NY 2013, ISBN 978-1-107-02883-8, Kapitel 6, S. 109–122 (englisch). 
• Maxim Korolev: Gram's law and the argument of the Riemann zeta function. In: Publications de l'Institut Mathematique. Band 92, Nr. 106, 2012, ISSN 0350-1302, S. 53–78, doi:10.2298/PIM1206053K (englisch). 
• J. van de Lune, H. J. J. te Riele: On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. III. In: Mathematics of Computation. Band 41, Nr. 164, 1983, ISSN 0025-5718, S. 759–767, doi:10.1090/S0025-5718-1983-0717719-3 (englisch). 
• J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter: On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV. In: Mathematics of Computation. Band 46, Nr. 174, 1986, ISSN 0025-5718, S. 667–681, doi:10.1090/S0025-5718-1986-0829637-3 (englisch). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Gram Point. In: MathWorld (englisch).