Ungelöste Probleme der Mathematik

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Im Prinzip lassen sich beliebig viele ungelöste mathematische Probleme beschreiben, denn das Themengebiet der Mathematik ist unbegrenzt. Dennoch haben sich in der Geschichte der Mathematik mehrfach wichtige ungelöste Probleme herauskristallisiert, die innerhalb der Wissenschaft als bedeutend anerkannt wurden und an deren Lösung daher mit besonderem Eifer gearbeitet wurde und wird. Dabei kann auch der Fall eintreten, dass das Problem innerhalb des vorausgesetzten formalen Systems prinzipiell unlösbar ist (nicht entscheidbar).

Häufig wird auch nach möglichst effizienten Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme gesucht (wie die Frage der Bestimmung des Diskreten Logarithmus bei großen Zahlen oder dem Travelling Salesman Problem), wofür es in der Informatik eine Einteilung nach Schwierigkeitsklassen gibt (Komplexitätstheorie). Siehe dazu Liste ungelöster Probleme der Informatik.

Millennium-Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Millennium-Probleme

Zuletzt stellte im Jahr 2000 das Clay Institute in Cambridge, Massachusetts, die sieben (aus seiner Sicht) wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik vor und lobte für eine veröffentlichte Lösung ein Preisgeld von jeweils einer Million Dollar aus. Bisher wurde eines der sogenannten Millennium-Probleme gelöst, als Grigori Perelman durch seinen Beweis der allgemeineren Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten im Jahr 2002 die Poincaré-Vermutung verifizieren konnte.

Hilbertsche Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Hilbertsche Probleme

Als Vorbild für das Clay Institute diente offensichtlich David Hilbert, der am 8. August 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris 23 bis dahin ungelöste Probleme der Mathematik formulierte. 13 dieser Probleme sind bisher umfassend „gelöst“ worden, wobei die Lösung in einigen Fällen in dem Beweis besteht, dass eine Lösung unmöglich oder die zu Grunde liegende Fragestellung nicht entscheidbar ist (siehe z. B. Hilberts erstes Problem). Zu dreien von ihnen sind noch keine befriedigenden Resultate vorhanden. Bei einigen Problemen erwies sich im Lauf der weiteren Entwicklung der Mathematik, dass die Fragestellung zu eng gefasst war und neu interpretiert werden musste, andere waren von Hilbert bewusst sehr vage formuliert (wie das der Axiomatisierung der Physik), so dass sie eher Hinweise auf von Hilbert damals als wichtig angesehene Forschungsfelder sind. Als prominentestes ungelöstes Problem gilt weiterhin die Riemannsche Vermutung, die ebenfalls in der Clay-Liste enthalten ist. Ein weiteres bekanntes Problem der Liste ist die Goldbachsche Vermutung.

Smale-Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Smale-Probleme

1998 stellte Stephen Smale eine Liste von 18 mathematischen Problemen auf, angeregt durch eine Aufforderung von Wladimir Arnold, einen Ersatz für die Hilbert-Liste für das neue Jahrhundert zu finden. Wladimir Arnold ist selbst für seine mathematischen Probleme bekannt, die auch in einem Buch veröffentlicht wurden.[1]

Weitere bekannte ungelöste Probleme und Fragen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zahlentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Collatz-Problem (auch bekannt als 3n+1-Problem, Hasse-Algorithmus, Ulams-Problem)
  • abc-Vermutung, eine der wichtigsten offenen Fragen der Theorie diophantischer Gleichungen in der Zahlentheorie, die viele weitere wichtige Sätze zur Folge hätte.
  • Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge? Oder gar Primzahlvierlinge oder Primzahlsechslinge?
  • Liegt zwischen und stets mindestens eine Primzahl (Legendresche Vermutung)? Sie zählt neben der Goldbachschen Vermutung, dem Problem der Primzahlzwillinge und der Frage, ob es unendlich viele Primzahlen der Form gibt, zu den Landau-Problemen (nach Edmund Landau).[2]
  • Gibt es ungerade vollkommene Zahlen? Gibt es unendlich viele vollkommene Zahlen?
  • Gibt es quasiperfekte Zahlen, das heißt natürliche Zahlen , die gleich der Summe ihrer echten Teiler (Teiler außer 1 und ) sind?
  • Beal-Vermutung von Andrew Beal (eine Verallgemeinerung der Fermatvermutung, für die Lösung lobte Beal 1 Million Dollar aus)
  • Lässt sich jede ganze Zahl als Summe dreier ganzzahliger Kuben darstellen?
  • Existieren bei der Taxicab-Zahl andere Werte als für und ?.
  • Gilbreaths Vermutung
  • Vermutung von Pillai
  • Gibt es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen?
  • Gibt es Fermat-Zahlen, die prim sind außer den fünf bekannten Fällen (den ersten fünf Fermatzahlen)?
  • Vermutung von Polignac, siehe Alphonse de Polignac
  • Artin-Vermutungen (nach Emil Artin), wovon es zwei gibt. Die eine Vermutung betrifft die mit komplexen endlich-dimensionalen Darstellungen der absoluten Galoisgruppe eines Zahlkörpers verbundene L-Reihen , die Artin eingeführt hatte. Sie sind nach Richard Brauer meromorphe Funktionen der komplexen Variablen . Artin vermutete, dass sie holomorph sind, eventuell mit Ausnahme eines einfachen Pols bei . Die zweite Vermutung von Artin betrifft primitive Einheitswurzeln mod . Sie besagt, dass jede ganze Zahl , die kein Quadrat ist, eine primitive Einheitswurzel für unendlich viele Primzahlen ist und dass die relative Dichte dieser Primzahlen in der Menge der Primzahlen ein rationales Vielfaches der Artinschen Konstante ist[3]. Letztere Vermutung wurde von Christopher Hooley unter Voraussetzung der verallgemeinerten Riemannvermutung bewiesen.
  • Dirichlet-Teilerproblem (siehe Teileranzahlfunktion)
  • Chowla-Vermutung (und damit verbunden Sarnak-Vermutung)
  • Lindelöfsche Vermutung
  • Gibt es unendlich viele reguläre Primzahlen?
  • Totient-Problem von Lehmer in der Zahlentheorie (siehe den Artikel Derrick Henry Lehmer).
  • Vermutung von Schanuel, eine zentrale Vermutung in der Theorie transzendenter Zahlen.
  • Fermat-Catalan-Vermutung[4]
  • Ist die Euler-Mascheroni-Konstante irrational, ist sie transzendent?
  • Kummer-Vandiver-Vermutung (von Harry Vandiver, siehe dort) über die Klassenzahl von Kreisteilungskörpern
  • Gibt es unendlich viele reelle quadratische Zahlkörper mit eindeutiger Primfaktorzerlegung (Klassenzahl 1)? Nach heuristischen Überlegungen von Henri Cohen, Hendrik Lenstra und numerischen Rechnungen trifft dies auf etwa drei Viertel zu, ein Beweis fehlt. Bei imaginärquadratischen Zahlkörpern sind dagegen genau 9 mit eindeutiger Primfaktorzerlegung (Gaußsches Klassenzahlproblem, Kurt Heegner, Harold Stark, Alan Baker).
  • Problem von Brocard und Ramanujan
  • Sierpinski-Problem: Was ist die kleinste Sierpiński-Zahl?
  • Riesel-Problem nach Hans Riesel: Wie lautet die kleinste Riesel-Zahl? Eine Rieselzahl ist eine ungerade natürliche Zahl , so dass zusammengesetzt ist für alle natürlichen Zahlen .
  • Erdős-Straus-Vermutung
  • Vermutung von Erdős über arithmetische Folgen (auch Vermutung von Erdös und Turan): Wenn die Menge A die Bedingung erfüllt enthält sie arithmetische Folgen beliebiger Länge. Aus ihr folgt der Satz von Szeméredi und der Satz von Ben Green und Terence Tao (dem Fall dass A gleich der Menge der Primzahlen ist).
  • Gibt es einen perfekten Euler-Ziegel?
  • Lonely Runner Conjecture aus dem Gebiet diophantischer Approximation, aufgestellt von Jörg Wills (siehe dort)
  • Paarkorrelationsvermutung von Montgomery (von Hugh Montgomery). Sie liefert einen Zusammenhang zwischen der Verteilung der Abstände der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf der kritischen Geraden und der Verteilung der Eigenwerte einer hermiteschen Zufallsmatrix.
  • Beilinson-Vermutungen und Bloch-Kato-Vermutung.[5][6][7] Sie verallgemeinern die Verbindung von speziellen Werten von L-Funktionen (Dedekindsche Zetafunktion) zu globalen Invarianten von Zahlkörpern in der Dirichletschen analytischen Klassenzahlformel.

Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • im Umkreis des Burnside-Problems (nach William Burnside) gibt es nach wie vor ungelöste Vermutungen, zum Beispiel: für welche natürlichen Zahlen m, n ist die freie Burnside-Gruppe endlich? Dabei ist m der Rang (Anzahl Generatoren) und n der Exponent (es gibt ein kleinstes so dass für alle Gruppenelemente)
  • Hadamard-Vermutung über die Existenz von Hadamard-Matrizen.
  • Umkehrproblem der Galoistheorie

Kombinatorik, Graphentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hadwiger–Nelson-Problem: Wie viele Farben sind mindestens notwendig, um eine Ebene einzufärben, wenn je zwei Punkte mit Abstand unterschiedlich gefärbt sein müssen?
  • Hadwigers Vermutung in der Graphentheorie
  • Bestimmung von Ramsey-Zahlen wie
  • Problem der Bestimmung der Anzahl Magischer Quadrate (nur für kleine Seitenlängen genau bekannt).
  • Einheitsdistanzproblem von Paul Erdős: gesucht wird eine möglichst scharfe obere Schranke für die Anzahl der Punkte mit Einheitsdistanz voneinander für n Punkte der Ebene (siehe Einheitsdistanz-Graph).
  • Das Erdős-Szekeres-Problem: Erdös und George Szekeres bewiesen 1935, dass es für jedes eine Anzahl von Punkten in der Ebene in allgemeiner Lage gibt, die die Ecken eines konvexen n-Gons bilden. Erdös und Szekeres vermuteten, dass für alle .
  • Harborth-Vermutung: besitzt jeder planare Graph eine Darstellung mit ganzzahligen Kantenlängen? (nach Heiko Harborth)
  • Vermutung von Erdős und Gyárfás: Jeder Graph mit Grad drei oder höher enthält einen Zyklus mit einer Länge, die eine Potenz von zwei ist.
  • Für welche natürlichen Zahlen gibt es endliche projektive (oder affine) Ebenen der Ordnung ? Nur für Primzahlpotenzen? Für ?

Geometrie, Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Novikov-Vermutung von S. P. Nowikow in der Topologie. Die Vermutung besagt die Homotopie-Invarianz der höheren Signaturen (Verallgemeinerungen der Signatur) einer Mannigfaltigkeit.
  • Baum-Connes-Vermutung von Paul Frank Baum und Alain Connes über die topologische Charakterisierung des Raums irreduzibler unitärer Darstellungen einer Gruppe (verbunden mit der K-Theorie von Operatoralgebren in der nichtkommutativen Geometrie). Aus ihr folgt die Nowikow-Vermutung.
  • Carathéodory-Vermutung (nach Constantin Carathéodory) in der Differentialgeometrie: jede konvexe, geschlossene, genügend glatte Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum hat mindestens zwei Nabelpunkte. Beispiele sind die Sphäre, in der alle Punkte Nabelpunkte sind und das verlängerte Rotationsellipsoid mit genau zwei Nabelpunkten. 1940 gab Hans Ludwig Hamburger einen Beweis für analytische Flächen.
  • Weinstein-Vermutung (von Alan Weinstein): jedes Reeb-Vektorfeld in Kontaktmannigfaltigkeiten hat geschlossene Orbite (siehe Kontaktgeometrie).
  • Toeplitz-Vermutung (Otto Toeplitz 1911): gibt es für jede geschlossene Jordan-Kurve ein eingeschriebenes Quadrat (das heißt alle Ecken liegen auf der Kurve)? Für Spezialfälle wie stückweise analytische Kurven (wie Polygone, Arnold Emch 1916) oder konvexe Kurven ist bekannt, dass dies zutrifft. Der allgemeine Fall ist offen.
  • Dichteste Kugelpackungen in höheren Dimensionen sind meist unbekannt (der dreidimensionale Fall ist die Kepler-Vermutung).
  • Kusszahlen in verschiedenen Dimensionen.
  • Die Wurstvermutung, siehe Theorie der endlichen Kugelpackungen.
  • Ist der Unknoten der einzige Knoten, dessen Jones-Polynom gleich ist? Es wird im Allgemeinen vermutet, dass dem so ist (Knot Detection Conjecture), für Verschlingungen trifft dies allerdings nicht zu. In der Knotentheorie gibt es noch viele weitere einfach zu stellende aber ungelöste Probleme.[8]
  • Kakeya-Vermutung: hat eine Besikovich-Menge (sie enthält eine Einheitsstrecke in jeder Orientierung) im die Hausdorff-Dimension ? (siehe Sōichi Kakeya, offen für )
  • In einer 1982 von William Thurston aufgestellte Liste von 24 Problemen[9] über 3-Mannigfaltigkeiten sind inzwischen alle bis auf eine gelöst: Gibt es zwei hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten deren Volumen in keinem rationalen Verhältnis zueineinander steht?[10] Allgemein ist über das Volumen hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten wenig bekannt.

Analysis, Dynamische Systeme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Vermutung von Mark J. Ablowitz, A. Ramani, Harvey Segur über die Anwendbarkeit der Inversen Streutransformation bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen vom Evolutionstyp, nämlich dass diese Reduktionen auf gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichungen mit Painlevé-Eigenschaft besitzen.
  • Ist die Mandelbrotmenge überall lokal zusammenhängend? Das Problem ist eines der Hauptprobleme der komplexen Dynamik (MLC-Vermutung). Aus einer positiven Antwort würde folgen, dass die Mandelbrotmenge hyperbolisch ist.
  • Vermutung von Alexandre Eremenko: Sei eine ganze transzendente komplexe Funktion, dann ist jede zusammenhängende Komponente der Entkommensmenge E (Escaping Set, das heißt die für die ) unbeschränkt. In einer verschärften Version wird vermutet, dass es einen Bogen gibt, der mit verbindet.
  • Vermutung von Berry und Tabor (Michael Berry, Michael Tabor 1977): Im generischen Fall des Quantenchaos, Quantendynamik des geodätischen Flusses auf kompakten Riemannschen Flächen, verhalten sich die Energie-Eigenwerte der zugehörigen Hamiltonfunktion wie unabhängige Zufallsvariable, falls das zugrundeliegende klassische System exakt integrabel ist.
  • Lehmer-Problem oder Mahler-Maß-Problem von Lehmer (nach Derrick Henry Lehmer) in der Analysis.
  • Pompeiu-Problem der Analysis, nach Dimitrie Pompeiu (siehe dort).
  • Ein von Ian Stewart[11] unter seine Liste von ungelösten Problemen aufgenommenes Problem ist die Frage, ob die „Autobahn“ ein Attraktor bei einem zellulären Automaten namens Langton´s Ameise ist (bei beliebigen Anfangsbedingungen).
  • Problem invarianter Unterräume (Invariant Subspace Problem). Es handelt sich um einen ganzen Fragenkomplex, von dem je nach Wahl des zugrundeliegenden Raumes oder Operatortyps eine Reihe von Teilresultaten und offenen Fragen bekannt sind. Gefragt wird danach, ob ein Operator T in einem unendlich dimensionalen Raum H (häufig Hilbert- oder Banachräume) einen nichttrivialen invarianten Unterraum W besitzt (). Für Banachräume fand Per Enflo ein Gegenbeispiel. Für endlich dimensionale Vektorräume ist die Existenz invarianter Unterräume linearer Operatoren (Matrizen) dagegen die Regel (siehe Untervektorraum).
  • Die HRT-Vermutung (nach Christopher Heil, Jay Ramanathan, Pankaj Topiwala 1996[12]). Gegeben seien und eine quadratintegrable komplexwertige Funktion , die nicht identisch verschwindet (also nicht für alle ). Dann behauptet die Vermutung, dass die linear unabhängig sind. Sie ist nur für spezielle Konfigurationen bewiesen. Die Vermutung gilt falls die kollinear sind, falls sie auf einem Gitter liegen (und damit für bis zu drei beliebige Punkte in der Ebene). Schon für den Fall von vier Punkten in beliebiger Lage in der Ebene ist sie offen. Sie wurde aber für spezielle Konfigurationen von vier Punkten (sog. (2,2) Konfigurationen, je zwei der Punkte liegen auf zwei verschiedenen Geraden) von Ciprian Demeter und Alexandru Zaharescu bewiesen.[13] Es gibt auch Varianten, die spezielle Funktionenklassen betrachten.

Algebraische Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Reihe offener Probleme in der mathematischen Physik stellte Barry Simon 1984 zusammen (Simon-Probleme, aktualisiert 2000).[14]

Lösungen für berühmte Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sonstige[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt für verschiedene Teilgebiete der Mathematik bekannte Problemzusammenstellungen, so von Robion Kirby für die Geometrie und Topologie niedrigdimensionaler Mannigfaltigkeiten[15] oder das Buch von Richard K. Guy über ungelöste Probleme der elementaren Zahlentheorie. Der ungarische Mathematiker Paul Erdős ist für zahlreiche Probleme bekannt (einige sind oben aufgeführt), für deren Lösung er oft auch selbst kleinere und größere Geldsummen aussetzte. Auch die polnische Mathematikerschule der Zwischenkriegszeit ist für ihre Orientierung an Problemen bekannt, gesammelt zum Beispiel im Schottischen Buch.

John von Neumann hielt auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1954 in Amsterdam auf Einladung von Hendrik Kloosterman einen Vortrag über ungelöste Probleme der Mathematik, der einen ähnlichen Überblick wie Hilbert 1900 auf dem Kongress in Paris geben sollte. Von Neumann behandelte Probleme aus seinem eigenen Forschungsbereich, insbesondere Operatoralgebren, Grundlagen der Quantenmechanik und damit zusammenhängende Wahrscheinlichkeitstheorie und Logik. Der Vortrag wurde aber nie publiziert (weder in den Vortragsbänden zum ICM 1954 noch in den Gesammelten Werken von von Neumann).[16] Als zentrales Problem sah er die Entwicklung einer Theorie unbeschränkter Operatoren in Hilberträumen im Hinblick auf die Begründung der Quantenmechanik. Er gab eine Übersicht über seine Klassifizierung von von Neumann Algebren und erläuterte, warum er Typ Algebren für aussichtsreiche Kandidaten einer mathematischen Theorie der Quantenmechanik sah (etwas was sich sonst nicht in seinen Veröffentlichungen und im Nachlass findet und in dem ihm auch die weitere historische Entwicklung nicht folgte).

Ungeklärte Lösungsversuche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Klassische „Ungelöste“ Probleme der Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über viele Jahrhunderte hinweg gab es auch in der Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, einige berühmte ungelöste Probleme (Konstruktionen). Diese werden auch die „Klassischen Probleme der antiken Mathematik“ genannt. Erst 1882 (Beweis der Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises) konnte auch das letzte dieser „ungelösten“ geometrischen Probleme als „unmöglich lösbares“ Problem erkannt werden.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wladimir Arnold: Arnolds problems, 2. Aufl., Springer 2004
  2. Weisstein, Eric W.: Landau's Problems, MathWorld
  3. Artin`s Constant, Mathworld
  4. Fermat Catalan Conjecture, Mathworld
  5. W. W. J. Hulsbergen, Beilinson Conjectures, Encyclopedia of Mathematics
  6. Peter Schneider, The Beilinson conjectures (pdf)
  7. Guido Kings: The Bloch-Kato conjectures on special values of L-functions, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 20, 2003, 179-198
  8. Lackenby, Elementary Knot Theory, 2016, Arxiv
  9. Thurston, Three-dimensional manifolds, Kleinian Groups and hyperbolic geometry, Bull. AMS, Band 6, 1982, S. 357-379
  10. Stefan Friedl, Thurston's Vision and the Virtual Fibering Theorem for 3-Manifolds, Jahresbericht DMV, 2014, Heft 4, pdf
  11. Ian Stewart, Die letzten Rätsel der Mathematik, rororo 2015, Kapitel 17
  12. Heil, Ramanathan, Topiwala, Linear índependence of time-frequency translates, Proc. Am. Math. Soc., Band 124, 1996, S. 2787, pdf
  13. Demeter, Zaharescu, Proof of the HRT conjecture for (2,2) configurations, Arxiv 2010
  14. Eric Weisstein: Simon´s Problems
  15. Kirby, Problems in low dimensional manifold theory, Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), S. 273–312
  16. Miklós Rédei, „Unsolved Problems in Mathematics“, von Neumann's Address International Congress of Mathematicians, September 2-9, Mathematics to the Amsterdam, 1954, Mathematical Intelligencer 1999, Nr.4. Ein Typoskript der Rede ist im von Neumann Archiv der Library of Congress.
  17. Behandelt werden fünf Millennium Probleme (P=NP, Navier-Stokes-Gleichung, Riemannsche Vermutung mit einem Essay von Alain Connes, Hodge-Vermutung, Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung), die Paarkorrelationsvermutung von Montgomery, verallgemeinerte Fermatgleichungen wie die von Andrew Beal, das Plateau-Problem, das Unknoten-Problem, die Frage der besseren Anwendbarkeit kooperativer Spieltheorie in der Ökonomie, die Nowikow-Vermutung und verwandte Probleme (Baum-Connes), die Goldbach-Vermutung, Hadwigers Vermutung, das Hadwiger-Nelson-Problem, das Erdös-Szekeres Problem, das Einheitsdistanzproblem von Erdös und das Problem der Diskreten Logarithmen.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]