Ungelöste Probleme der Mathematik

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Im Prinzip lassen sich beliebig viele ungelöste mathematische Probleme beschreiben, denn das Themengebiet der Mathematik ist unbegrenzt. Dennoch haben sich in der Geschichte der Mathematik mehrfach wichtige ungelöste Probleme herauskristallisiert, die innerhalb der Wissenschaft als bedeutend anerkannt wurden und an deren Lösung daher mit besonderem Eifer gearbeitet wurde und wird. Dabei kann auch der Fall eintreten, dass das Problem innerhalb des vorausgesetzten formalen Systems prinzipiell unlösbar ist (nicht entscheidbar).

Millennium-Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Millennium-Probleme

Zuletzt stellte im Jahr 2000 das Clay Institute in Cambridge, Massachusetts, die sieben (aus seiner Sicht) wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik vor und lobte für eine veröffentlichte Lösung ein Preisgeld von jeweils einer Million Dollar aus. Bisher wurde eines der sogenannten Millennium-Probleme gelöst, als Grigori Perelman durch seinen Beweis der allgemeineren Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten im Jahr 2002 die Poincaré-Vermutung verifizieren konnte.

Hilbertsche Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Hilbertsche Probleme

Als Vorbild für das Clay Institute diente offensichtlich David Hilbert, der am 8. August 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris 23 bis dahin ungelöste Probleme der Mathematik formulierte. 13 dieser Probleme sind bisher umfassend „gelöst“ worden, wobei die Lösung in einigen Fällen in dem Beweis besteht, dass eine Lösung unmöglich oder die zu Grunde liegende Fragestellung nicht entscheidbar ist (siehe z. B. Hilberts erstes Problem). Zu dreien von ihnen sind noch keine befriedigenden Resultate vorhanden. Bei einigen Problemen erwies sich im Lauf der weiteren Entwicklung der Mathematik, dass die Fragestellung zu eng gefasst war und neu interpretiert werden musste. Als prominentestes ungelöstes Problem gilt weiterhin die Riemannsche Vermutung, die ebenfalls in der Clay-Liste enthalten ist. Ein weiteres bekanntes Problem der Liste ist die Goldbachsche Vermutung.

Smale-Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Smale-Probleme

1998 stellte Stephen Smale eine Liste von 18 mathematischen Problemen auf, angeregt durch eine Aufforderung von Wladimir Arnold, einen Ersatz für die Hilbert-Liste für das neue Jahrhundert zu finden. Wladimir Arnold ist selbst für seine mathematischen Probleme bekannt, die auch in einem Buch veröffentlicht wurden.[1]

Weitere bekannte ungelöste Probleme und Fragen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zahlentheorie:

Algebra:

  • im Umkreis des Burnside-Problems (nach William Burnside) gibt es nach wie ungelöste Vermutungen, zum Beispiel: für welche natürlichen Zahlen m, n ist die freie Burnside-Gruppe endlich ? Dabei ist m der Rang (Anzahl Generatoren) und n der Exponent (es gibt ein kleinstes n so dass für alle Gruppenelemente)
  • Hadamard-Vermutung über die Existenz von Hadamard-Matrizen.

Kombinatorik, Graphentheorie:

  • Hadwiger–Nelson-Problem: Wie viele Farben sind mindestens notwendig, um eine Ebene einzufärben, wenn je zwei Punkte mit Abstand unterschiedlich gefärbt sein müssen?
  • Hadwigers Vermutung in der Graphentheorie
  • Bestimmung von Ramsey-Zahlen wie
  • Problem der Bestimmung der Anzahl Magischer Quadrate (nur für kleine Seitenlängen genau bekannt).

Geometrie, Topologie:

Analysis, Dynamische Systeme:

  • Vermutung von Mark J. Ablowitz, A. Ramani, Harvey Segur über die Anwendbarkeit der Inversen Streutransformation bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen vom Evolutionstyp, nämlich dass diese Reduktionen auf gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichungen mit Painlevé-Eigenschaft besitzen.
  • Ist die Mandelbrotmenge überall lokal zusammenhängend ? Das Problem ist eines der Hauptprobleme der komplexen Dynamik (MLC-Vermutung). Aus einer positiven Antwort würde folgen, dass die Mandelbrotmenge hyperbolisch ist.
  • Vermutung von Berry und Tabor (Michael Berry, Michael Tabor 1977): Im generischen Fall des Quantenchaos, Quantendynamik des geodätischen Flusses auf kompakten Riemannschen Flächen, verhalten sich die Energie-Eigenwerte der zugehörigen Hamiltonfunktion wie unabhängige Zufallsvariable, falls das zugrundeliegende klassische System exakt integrabel ist.
  • Lehmer-Problem oder Mahler-Maß-Problem von Lehmer (nach Derrick Henry Lehmer) in der Analysis.
  • Pompeiu-Problem der Analysis, nach Dimitrie Pompeiu
  • Ein von Ian Stewart[4] unter seine Liste von ungelösten Problemen aufgenommenes Problem ist die Frage, ob die „Autobahn“ ein Attraktor bei einem zellulären Automaten namens Langton´s Ameise ist (bei beliebigen Anfangsbedingungen).
  • Problem invarianter Unterräume (Invariant Subspace Problem). Es handelt sich um einen ganzen Fragenkomplex, von dem je nach Wahl des zugrundeliegenden Raumes oder Operatortyps eine Reihe von Teilresultaten und offenen Fragen bekannt sind. Gefragt wird danach, ob ein Operator T in einem unendlich dimensionalen Raum H (häufig Hilbert- oder Banachräume) einen nichttrivialen invarianten Unterraum W besitzt (). Für Banachräume fand Per Enflo ein Gegenbeispiel. Für endlich dimensionale Vektorräume ist die Existenz invarianter Unterräume linearer Operatoren (Matrizen) dagegen die Regel (siehe Untervektorraum).

Algebraische Geometrie:

Eine Reihe offener Probleme in der mathematischen Physik stellte Barry Simon 1984 zusammen (Simon-Probleme, aktualisiert 2000).[5]

Lösungen für berühmte Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sonstige[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt für verschiedene Teilgebiete der Mathematik bekannte Problemzusammenstellungen, so von Robion Kirby für die Geometrie und Topologie niedrigdimensionaler Mannigfaltigkeiten[6] oder das Buch von Richard K. Guy über ungelöste Probleme der elementaren Zahlentheorie.

Ungeklärte Lösungsversuche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

„Ungelöste“ Probleme der Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über viele Jahrhunderte hinweg gab es auch in der Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, einige berühmte ungelöste Probleme (Konstruktionen). Diese werden auch die „Klassischen Probleme der antiken Mathematik“ genannt. Erst 1882 (Beweis der Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises) konnte auch das letzte dieser „ungelösten“ geometrischen Probleme als „unmöglich lösbares“ Problem erkannt werden.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wladimir Arnold: Arnolds problems, 2. Aufl., Springer 2004
  2. Weisstein, Eric W.: Landau's Problems, MathWorld
  3. Fermat Catalan Conjecture, Mathworld
  4. Ian Stewart, Die letzten Rätsel der Mathematik, rororo 2015, Kapitel 17
  5. Eric Weisstein: Simon´s Problems
  6. Kirby, Problems in low dimensional manifold theory, Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), S. 273–312

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]