Riemannsche Vermutung

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Die Riemannsche Vermutung oder Riemannsche Hypothese ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde erstmals 1859 von Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe formuliert. Nachdem sie bereits im Jahr 1900 von David Hilbert auf seine Liste 23 wichtiger Jahrhundertprobleme gesetzt wurde, ist sie im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen worden. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat damit ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt.

Einfach gesprochen sagt die Riemannsche Vermutung aus, dass sich die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 … „möglichst zufällig“ verhält. Das sollte sich zum Beispiel dadurch äußern, dass die Abfolge der Ereignisse, dass eine Zahl eine gerade Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie zum Beispiel , oder eine ungerade Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie , auf lange Sicht ein Verhalten aufweist, welches auch ein häufig wiederholter Münzwurf mit Kopf und Zahl haben könnte. Eine Theorie, welche die Riemannsche Vermutung löst und damit eine tiefere Erklärung für diese Zufälligkeit unter den Primzahlen liefern würde, könnte daher aus Sicht der Mathematiker ein fundamental neues Verständnis für Zahlen im Allgemeinen nach sich ziehen.

Übersetzt man dies in die Fachsprache der analytischen Zahlentheorie, ist die Riemannsche Vermutung äquivalent zu der Aussage, dass sämtliche komplexe Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion im sog. kritischen Streifen den Realteil 12 besitzen. Es ist schon bekannt und bewiesen, dass die Zeta-Funktion reelle Nullstellen hat (die sogenannten „trivialen“ Nullstellen), sowie unendlich viele nicht-reelle Nullstellen mit dem Realteil 12. Die Riemannsche Vermutung besagt also, dass es darüber hinaus keine weiteren Nullstellen gibt, d. h., dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer Geraden in der Zahlenebene parallel zur imaginären Achse liegen.

Die Riemannsche Vermutung ist sehr bedeutsam für die moderne Mathematik. Viele wichtige Beweise für eine Reihe bisher ungelöster Probleme, besonders aus der Zahlentheorie, könnten aus ihr gefolgert werden. Dies betrifft Probleme aus der Grundlagenforschung, wie etwa solche der Primzahlverteilung im Umfeld des Primzahlsatzes oder der offenen Goldbachschen Vermutung, als auch der angewandten Mathematik, wie schnelle Primzahltests. Gleichzeitig gilt sie auch als äußerst schwierig zu beweisen. Ein Grund hierfür ist, dass die Menschheit aus Expertensicht bisher nicht über die nötigen mathematischen Werkzeuge verfügt, sie überhaupt angreifen zu können. Bisherige Beweisversuche von prominenten Mathematikern scheiterten allesamt.

Durch umfassenden Einsatz von Computern ist es gelungen, die Riemannsche Vermutung für die ersten 10 Billionen Nullstellen der Zeta-Funktion zu verifizieren. Da es jedoch nachweislich unendlich viele nicht-reelle Nullstellen mit dem Realteil 12 gibt, könnte sie auf diese Weise nur durch Angabe eines expliziten Gegenbeispiels widerlegt, jedoch nicht bewiesen werden. Ein Gegenbeispiel wäre eine nicht-reelle Nullstelle im kritischen Streifen mit Realteil ungleich 12.

Einführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 … beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 … . Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste 2, 3, 5, 7, 11 … niemals enden wird. Sein Resultat wird als Satz des Euklid bezeichnet.

Die Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Zum Beispiel gilt 21 = 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11. Trotz dieser elementaren Eigenschaft ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein einfaches Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik.

Der Primzahlsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch wenn das detaillierte Verständnis der Sequenz 2, 3, 5, 7, 11 … der Primzahlen als unerreichbar fern gilt, kann man nach Mustern suchen, wenn man den Blick ausweitet. Dabei hilft zum Beispiel die Vorstellung, dass mit Hilfe statistischer Methoden das Verhalten sehr vieler Menschen (zum Beispiel bezüglich des Konsum- und Wahlverhaltens) oft überraschend präzise beschrieben werden kann, obgleich ein einzelner Mensch äußerst komplex ist. Das hat grob gesagt damit zu tun, dass größer werdende relevante Datenmengen immer zuverlässigere Informationen liefern. Im Falle der Primzahlen führt eine solche Ausweitung unter anderem zu der Frage, wie viele Primzahlen es unterhalb einer fest gewählten Zahl gibt.

Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2, 3, 5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle von 50 gibt es schon 15 kleinere Primzahlen, nämlich

Eine Frage der Zahlentheorie ist, ob es ein universelles und einfaches Prinzip gibt, zumindest zu schätzen, wie viele Primzahlen es unter einer gegebenen Schranke gibt. Erkannt wurde ein solches erstmals in den Jahren 1792/93 vom damals 15-jährigen Carl Friedrich Gauß,[1] nachdem dieser Logarithmentafeln studiert hatte. Gauß vermutete, dass die Anzahl aller Primzahlen von 2 bis zu einer großen Zahl x ungefähr dem Flächeninhalt zwischen der x-Achse und der Funktion im Intervall von 2 bis x entspricht. Dabei ist der natürliche Logarithmus. Es gilt also die Näherung

Anzahl der Primzahlen bis x

Das Integral zur Rechten kann nicht elementar geschlossen berechnet werden, da der kehrwertige Logarithmus keine elementare Stammfunktion besitzt. Es definiert somit eine „eigenständige“ Funktion, die auch als Integrallogarithmus bekannt ist. Gauß legte keinen mathematischen Beweis für seine Vermutung vor, und es dauerte noch über 100 Jahre, bis ein solcher – unabhängig von Jacques Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin – im Jahr 1895 erbracht wurde. Dabei bedeutet Beweis nicht, dass alle erdenklichen Werte durchprobiert wurden, was bei unendlich vielen Zahlen unmöglich ist, sondern dass ein auf den mathematischen Axiomen basierendes logisches Argument den Sachverhalt in voller Allgemeinheit belegt. Das damit gezeigte Theorem wird bis heute als Primzahlsatz bezeichnet.

Die im Primzahlsatz gegebene Annäherung liefert durchaus gute Werte. Beispielsweise gibt es unterhalb der Zahl 73 893 genau 7293 Primzahlen, und es gilt

Der Primzahlsatz erfasst das durchschnittliche Verhalten der Primzahlabstände. Eine Interpretation seiner Aussage ist, dass eine zufällige Zahl zwischen 2 und einem sehr großen n mit der ungefähren Wahrscheinlichkeit eine Primzahl ist. Allerdings gibt er keine beliebig detaillierte Auskunft über die Primzahlfolge.

Die Ideen Riemanns[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Originalarbeit von 1859[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Jahr 1859 verfasste Bernhard Riemann, als Dank für seine Aufnahme in die Berliner Akademie der Wissenschaften, eine insgesamt 9-seitige Schrift, welche später die Grundlagen für die moderne analytische Zahlentheorie legen sollte. Seine Arbeit zielte darauf ab, die Vermutung von Gauß zum Primzahlsatz zu beweisen und weiter zu vertiefen. Da der Aufsatz jedoch äußerst skizzenhaft aufgeführt war und zahlreiche darin getätigte Aussagen nicht streng bewiesen wurden, sollte es noch dauern, bis die Mathematiker die dort getätigten Behauptungen akzeptierten. Bis heute gelten alle Aussagen Riemanns in seiner Arbeit, mit Ausnahme der dort in einem Nebensatz formulierten Riemannschen Vermutung, als bewiesen.

Die Riemannsche Zeta-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein mögliches Werkzeug zum Beweis dieser Formel ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Dabei wird ausgenutzt, dass sie das Gesetz der eindeutigen Primfaktorzerlegung in der Sprache der Analysis ausdrückt. Also werden die Eigenschaften der Primzahlen in dieser Funktion versteckt abgespeichert. Die entscheidenden Merkmale, welche Rückschlüsse auf die Primzahlen zulassen, sind die Nullstellen der Zeta-Funktion, also alle Punkte, an denen sie den Wert 0 annimmt. Diese erzeugen einen Korrekturterm obiger Formel, der sie in einen exakten Ausdruck umwandelt. Diese dadurch entstehende exakte Formel kennt also die Verteilung der Primzahlen bis ins letzte Detail. Damit gelten die Fragen um die Primzahlen jedoch nicht als gelöst: der Rechenaufwand nimmt mit steigenden Werten sehr stark zu und somit sind praktische Berechnungen mit dieser Formel nicht effektiv. Für numerische Forschung eignen sich im Gegensatz dazu moderne Primzahltests besser. Die exakte Formel ist jedoch von theoretischen Interesse: sie birgt nämlich den Fehlerabstand zwischen der einfachen Vorhersage und der tatsächlichen Primzahlverteilung. Es wird vermutet, dass dieser Fehler (innerhalb des Spektrums aller Möglichkeiten) kleinstmöglich ist. Innerhalb der exakten Formel, welche die Anzahl der Primzahlen unter der Zahl ausgeben soll, werden Terme mit aufsummiert, wobei die Nullstellen sind. Wird nun der Realteil von größer, erhöht dies auch die Größe von was zur Folge hätte, dass der Abstand zwischen der Schätzung des Primzahlsatzes und der tatsächlichen Verteilung ebenfalls größer ausfiele. Es kann gezeigt werden, dass der Realteil unendlich vieler Werte von gleich ist, weshalb der Fehler auf jeden Fall eine Mindestgrößenordnung von haben wird. Die Riemannsche Vermutung sagt nun aber aus, dass es keine weiteren Nullstellen gibt, die sich anders verhalten als die bisher bekannten im kritischen Streifen.

Die Entschlüsselung des Fehlers ist nicht für die Numerik von Relevanz. Vielmehr ist die reine Mathematik bestrebt, den bisher verborgenen Grund zu erfahren, weshalb der Fehler (falls zutreffend) so klein wie möglich ausfällt. Mathematiker erhoffen sich hinter der formalen Begründung dieser Gesetzmäßigkeit eine fundamentale Einsicht in die Natur der Zahlen.

Die Riemannsche Zeta-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene, horizontal und vertikal . Eine Reihe weißer Flecken markiert die Nullstellen bei Für eine vollständige Darstellung des Vorschaubildes hier klicken.

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine komplexwertige Funktion, die für eine komplexe Zahl mit einem Realteil durch die unendliche Summe

definiert ist.

Eine der wichtigsten Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion ist ihr Zusammenhang mit den Primzahlen. Sie stellt eine Beziehung zwischen komplexer Analysis und Zahlentheorie her (siehe analytische Zahlentheorie) und bildet den Ausgangspunkt der Riemannschen Vermutung. Der folgende Ausdruck, der auf Leonhard Euler (1748) zurückgeht, stellt den Zusammenhang formelhaft dar als

wobei ein unendliches Produkt über alle Primzahlen darstellt. Der Ausdruck folgt unmittelbar aus dem Satz über die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung und der Summationsformel für die geometrische Reihe.

Die Funktion lässt sich über den ursprünglichen Konvergenzbereich der Eulerschen Summen- bzw. Produktformel hinaus auf die gesamte komplexe Ebene – mit Ausnahme von  – eindeutig analytisch fortsetzen. Man erhält eine meromorphe Funktion

wobei die Gammafunktion und die Bernoulli-Zahlen sind.[2] Im Punkt besitzt sie einen einfachen Pol. Die anderen Singularitäten dieser Darstellung sind alle hebbar, weil die ganze Funktion an jeder dieser Stellen eine einfache Nullstelle hat.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrag der Zeta-Funktion auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2
Funktionswerte der Zeta-Funktion auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2

Im Folgenden wird die Riemannsche Zeta-Funktion in analytischer Fortsetzung betrachtet. In dieser Form hat die Zeta-Funktion sogenannte „triviale Nullstellen“, die sich aus der Menge der Polstellen der Gammafunktion, vermindert um die Menge der Polstellen des Klammerausdrucks durch Aufhebung ergeben. Es handelt sich dabei um die Menge der negativen geraden Zahlen

Eine zentrale Erkenntnis Riemanns in seiner berühmten Arbeit aus dem Jahre 1859[3] war die Feststellung, dass sich alle möglichen nichttrivialen Nullstellen in dem sogenannten kritischen Streifen

befinden müssen.

Die berühmte – und bis heute weder widerlegte noch bewiesene – Vermutung von Bernhard Riemann besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen auf der mittleren Geraden

liegen.

Riemann kam auf seine Vermutung bei der Untersuchung des Produkts der Zeta-Funktion mit der Gammafunktion

,

die bei der Vertauschung von mit invariant ist, das heißt, sie erfüllt die Funktionalgleichung:

Riemann selbst verwendete und erhielt damit für alle :

Die Gerade in der komplexen Zahlenebene mit dem Realteil 1/2 ist somit bei dieser Spiegelung ebenfalls invariant. Riemann selbst schreibt über die Nullstellen:

„[…] und es ist sehr wahrscheinlich, daß alle Wurzeln reell sind. Hievon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indeß die Aufsuchung desselben, nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.“[3]

Mit „reellen Wurzeln“ meinte Riemann, dass für ein im kritischen Streifen die Gleichung

lediglich für reelle , also , zu lösen sei.

Aus der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion lassen sich auch unabhängig von der Riemannvermutung wichtige Aussagen über die Primzahlverteilung treffen, so ist der Primzahlsatz äquivalent zur Aussage, dass die Zeta-Funktion keine Nullstellen auf der Geraden hat, und jede Erweiterung der nullstellenfreien Regionen in den kritischen Streifen hinein führt zu einer Verbesserung des Fehlerterms im Primzahlsatz bis hin zur Riemannvermutung.[4]

Wahrscheinlichkeitstheoretische Anschauung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Riemannsche Vermutung kann probabilistisch interpretiert werden. Dies geht auf den Mathematiker Arnaud Denjoy zurück.

Der Vergleich entsteht über die Betrachtung eines fairen Münzwurfes. Es wird eine faire Münze mit den möglichen Ergebnissen „Kopf“ und „Zahl“ mehrmals hintereinander geworfen. In der idealen Situation ist das Ergebnis jeden Wurfs an sich absolut zufällig und außerdem hängen die Ergebnisse der Würfe nicht voneinander ab. Wurde also zunächst Kopf geworfen, soll dies unerheblich dafür sein, ob wieder Kopf oder auch Zahl folgt.

Unter Annahme absoluten Zufalls bei gleichen Wahrscheinlichkeiten und außerdem Unabhängigkeit der einzelnen Würfe kann bei häufigem Wiederholen eines Münzwurfes ein bestimmtes Muster beobachtet werden. Am besten wird dies veranschaulicht, wenn die Ereignisse „Kopf“ und „Zahl“ durch quantifizierte Größen wie bzw. ersetzt werden und nach jeder Serie von Würfen die Summe aller Zwischenergebnisse gebildet wird. Dies entspricht dann genau der Differenz aus geworfenen Köpfen und Zahlen. Bei einem Wurf von sechs Mal Kopf und elf Mal Zahl wäre dies zum Beispiel . Bei einer sehr häufigen Anzahl an Würfen, etwa 100 Million, ist es vernünftig anzunehmen, dass ungefähr 50 Millionen Mal bzw. geworfen wurde, da beide Ergebnisse exakt gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Dies hätte als mögliche Konsequenz, dass die Summe aller Würfe sich in „etwa zum Wert Null ausgleicht“, da angenommen wurde, dass der Wert in etwa so häufig summiert wurde wie . Auf der anderen Seite ist es bereits in diesen Größenordnungen extrem unwahrscheinlich, dass etwa ein Ergebnis wie (50 000 000, 50 000 000) mit Differenz 0 oder auch (49 999 999, 50 000 001) mit Differenz −2 auftritt. Es ist also eher damit zu rechnen, dass der Zufall zu „Gunsten“ von oder einen gewissen „Ausreißer“ verursachen wird. Die Größe dieses „Ausreißers“ ist Gegenstand des zentralen Grenzwertsatzes: Bezeichnet die Zufallsgröße mit dem Wert des -ten Wurfes, so ist die Differenz bei Würfen gegeben durch

Der zentrale Grenzwertsatz besagt unter anderem, dass sich der Absolutwert mit sehr großer Wahrscheinlichkeit in einem Intervall mit Zahlen aufhält. Dabei ist die Quadratwurzel von . Die Wahrscheinlichkeit nähert sich unter Zuwachs von zunehmend einem von den Größen und abhängigen Wert an, der naturgemäß für und gegen 1 (= 100 %) strebt. Der „Ausreißer“ der oberen Differenz ist also von der Größenordnung , entsprechend ist bei der Wahl eine Abweichung in der Größenordnung zu rechnen.

Der zentrale Grenzwertsatz identifiziert die Größenordnung des Kompromisses zwischen dem sehr unwahrscheinlichem Ereignis, dass quasi genau so häufig Kopf wie Zahl geworfen wird () oder, im anderem Extrem, dass unfassbar häufiger Kopf als Zahl geworfen wird oder umgekehrt ( bzw. ), als . Im ersten Fall könnte die Unabhängigkeit verletzt sein, etwa dann, wenn auf einen Wurf Kopf stets Zahl folgen muss, und umgekehrt. Dann wäre nur der erste Zufallswurf entscheidend und die Folge der Würfe ergäbe, beim ersten Wurf Kopf, , was in der Summe auch langfristig die Größenordnung 0 besäße. Im zweiten Extremfall könnte die Bedingung der gleichen Wahrscheinlichkeit verletzt sein, also zum Beispiel eine unfaire Münze vorliegen, die in Wahrheit mit Wahrscheinlichkeit zum Beispiel Kopf zeigt. In diesem Fall wäre , was in der Größenordnung aber langfristig deutlich über liegt. Von diesem Gesichtspunkt her kann die „Zufälligkeit“ einer Abfolge von Ereignissen durch häufiges Wiederholen „gemessen“ und ggf. durch Anwendung eines Hypothesentests, in etwa bei oberen Extremfällen, statistisch falsifiziert werden.

Die Riemannsche Vermutung sagt aus, dass sich Primzahlen in ihren Eigenschaften (wie Verteilung, Primfaktorzerlegung …) „möglichst zufällig“ und „möglichst unabhängig“ verhalten. So soll zum Beispiel die Frage, ob sich eine zufällig gewählte Zahl in eine gerade oder in eine ungerade Anzahl an Primfaktoren zerlegen lässt, für wachsende Größe von mit „gleicher Wahrscheinlichkeit“ beantworten lassen. Bezeichnet die Liouville-Funktion, die im Falle, dass eine gerade Anzahl von Primfaktoren besitzt, den Wert 1 annimmt, und −1 sonst, so ist die Riemannsche Vermutung (im Sinne des zentralen Grenzwertsatzes) äquivalent zu

für jedes beliebige . Dabei ist die Potenzschreibweise zu beachten. Die Zahl entspricht der Vermutung, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion ebendiesen Realteil besitzen.

Wäre im Gegenzug die Riemannsche Vermutung falsch, so gäbe es ein Ungleichgewicht in der Primzahlverteilung in dem Sinne, dass es zum Beispiel streckenweise unnatürlich viel gehäufter Zahlen mit einer geraden Anzahl an Primfaktoren, wie 10, 14, 25, 132, gäbe, als Zahlen mit einer ungeraden Anzahl an Primfaktoren, wie 7, 8, 12, 18 und 125.

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die nichttrivialen Nullstellen und Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine bedeutende Erkenntnis Riemanns war der Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Nullstellen seiner Zeta-Funktion. In seiner Arbeit beschäftigte er sich mit dem Auffinden eines analytischen Ausdrucks für die Primzahlfunktion . Als Ausgangspunkt hierfür bediente er sich der Formel

die den Zusammenhang zwischen Primzahlen und der Zeta-Funktion fundamental untermauert. Diese lässt sich durch Logarithmieren und geeignete Potenzreihen in den folgenden Ausdruck verwandeln:[5]

Über das Integral

konnte Riemann nun den Ausdruck in eine geschlossene Form bringen. Hierfür führte er die zahlentheoretische Funktion mit

ein, wobei die Heaviside-Funktion symbolisiert. Diese summiert für jede Primzahlpotenz , die kleiner als ist, den Bruch auf. Ein einfaches Beispiel wäre

Überdies ist eine Treppenfunktion. Ein reiner Integralausdruck für ist also:

Riemann war ein Meister der Fourieranalyse und somit gelang ihm mit der nächsten Umformung ein Meilenstein der analytischen Zahlentheorie. Über eine inverse Mellin-Transformation folgerte er einen analytischen Ausdruck für :

mit einem . In den nächsten Schritten seiner Arbeit wies Riemann auf die Produktdarstellung der nach ihm benannten Riemannschen -Funktion hin, die sich definiert durch:

Diese Produktdarstellung läuft über alle nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion und hat die Form eines bis ins Unendliche faktorisierten Polynoms (ähnlich wie bei der Faktorisierung des Sinus oder Kosinus):

Daraus gewinnt man ohne große Mühe einen im wahrsten Sinne nichttrivialen zweiten Ausdruck für :

Der letzte Teil von Riemanns Arbeit beschäftigt sich im Ganzen nur noch mit der Substitution dieses zweiten Ausdrucks für in die Gleichung

Trotz schwieriger Auswertung gelangte Riemann zu dem Resultat

wobei der Integrallogarithmus ist. Mit der über die Möbius-Inversion (mit der Möbiusfunktion ) gefolgerten Verbindung zwischen und , nämlich

war ein tiefer Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Nullstellen der Zeta-Funktion geschaffen.

Anmerkung: Bei einer numerischen Berechnung von mit Riemanns Formel sollte der Ausdruck in der Summe durch ersetzt werden, wobei die (komplexe) Integralexponentialfunktion bezeichnet, da bei der Auswertung von über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus nicht immer gilt und somit das Ergebnis verfälscht würde.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Riemannschen Vermutung folgt beispielsweise eine Restgliedabschätzung im Primzahlsatz (Helge von Koch 1901):[6]

Das Resultat von Koch ist äquivalent zur Riemannschen Vermutung. Es lässt sich auch schreiben als

für eine Konstante , und eine etwas schwächere Form ist[7]

für beliebige .

Viele weitere Resultate der analytischen Zahlentheorie, aber auch etwa die für die in der Kryptographie wichtigen schnellen Primzahltests, können bisher nur unter Annahme der Riemannhypothese bewiesen bzw. durchgeführt werden. In den komplexen Nullstellen der Zeta-Funktion sind, wie Michael Berry schrieb, die Fluktuationen um die grobe asymptotisch logarithmische Verteilung der Primzahlen, die der Primzahlsatz beschreibt, kodiert. Kennt man die genaue Verteilung, kann man auch genauere Aussagen über die Wahrscheinlichkeit treffen, wie viele Primzahlen in einem Bereich anzutreffen sind.

Die eigentliche Ursache dafür, dass viele Mathematiker so intensiv nach einer Lösung gesucht haben, ist aber – abgesehen davon, dass dies die letzte noch unbewiesene Aussage in Riemanns berühmtem Aufsatz ist – dass sich in dieser außergewöhnlich perfekten Symmetrie einer ansonsten sehr chaotischen Funktion (z. B. Universalitätssatz von Voronin: Die Zeta-Funktion kann jede beliebige analytische von Null verschiedene Funktion innerhalb eines Kreises vom Radius 1/4 beliebig approximieren) wahrscheinlich die Spitze des Eisbergs einer fundamentalen Theorie verbirgt, so wie sich hinter der Fermatvermutung die Parametrisierung von elliptischen Kurven durch Modulfunktionen verbarg, ein Teil des Langlands-Programms.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Riemannsche Vermutung wurde schon 1859 von Bernhard Riemann in einer berühmten Arbeit, die die Grundlagen der analytischen Zahlentheorie legte, nebenbei erwähnt. Dabei schrieb er „dass dazu zwar ein strenger Beweis zu wünschen wäre, er habe aber dessen Aufsuchung nach einigen flüchtigen Versuchen vorläufig eingestellt, da er für den nächsten Zweck seiner Untersuchung entbehrlich sei.“ Er sicherte seine Vermutung durch umfangreiche numerische Berechnungen der Nullstellen ab, wie Carl Ludwig Siegel in den 1930er Jahren bei der Untersuchung von Riemanns Nachlass herausfand.[8] In seinen nicht veröffentlichen Schriften wurde darüber hinaus nichts dazu gefunden.[9] Der Mathematiker und Mathematikhistoriker Harold Edwards formulierte einige Spekulationen, wie Riemann ohne nennenswerte numerische Evidenz zu seiner Vermutung gekommen sein könnte.[10]

1903 veröffentlichte Jørgen Pedersen Gram[11] numerische Näherungswerte für die ersten 15 im kritischen Bereich liegenden Nullstellen. Sie unterstützen (beweisen aber nicht) die Riemannsche Vermutung, ebenso wie alle weiteren Nullstellen, die später gefunden wurden und deren Anzahl Anfang der 1980er Jahre die 100-Millionen-Grenze überschritt. Im Jahr 2001 wurde mit Hilfe von Großrechnern gezeigt, dass die ersten zehn Milliarden Nullstellen der komplexen Zeta-Funktion alle die Riemannsche Vermutung erfüllen, d. h., sie liegen alle auf der Geraden mit Realteil .

Einen weiteren Meilenstein bei der numerischen Suche stellte das im August 2001 gestartete Zeta-Grid-Projekt dar. Mit Hilfe der Methode des verteilten Rechnens, an der viele tausend Internetnutzer teilnahmen, wurden nach drei Jahren etwa 1 Billion Nullstellen gefunden. Das Projekt wurde inzwischen eingestellt.

Die beiden französischen Mathematiker Gourdon und Demichel starteten mit dem Verfahren von Odlyzko und Schönhage im Jahr 2004 einen neuen Versuch und hatten im Oktober 2004 die ersten 10 Billionen Nullstellen überprüft, ohne ein Gegenbeispiel zu finden. Obwohl es sich bei allen Rechnungen um numerische Verfahren handelt, zeigen diese exakt und nicht nur annähernd, dass sich die untersuchten Nullstellen auf der kritischen Geraden befinden.[12]

Viele berühmte Mathematiker haben sich an der Riemannschen Vermutung versucht. Jacques Hadamard behauptete 1896 ohne nähere Ausführungen in seiner Arbeit Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques[13] in der er den Primzahlsatz bewies, dass der damals kürzlich verstorbene Stieltjes die Riemannsche Vermutung bewiesen habe, ohne den Beweis zu publizieren. Stieltjes behauptete 1885 in einem Aufsatz in den Compte Rendu der Académie des sciences einen Satz über das asymptotische Verhalten der Mertensfunktion bewiesen zu haben, aus der die Riemannsche Vermutung folgt (siehe unten).[14] Der berühmte britische Mathematiker Godfrey Harold Hardy pflegte vor der Überquerung des Ärmelkanals bei schlechtem Wetter ein Telegramm abzuschicken, in dem er behauptete, einen Beweis gefunden zu haben, dem Beispiel von Fermat folgend, der auf dem Rand eines Buches der Nachwelt überlieferte, er hätte für seine Vermutung einen Beweis, der leider zu lang sei um auf dem Rand Platz zu finden.[15] Sein Kollege John Edensor Littlewood bekam in Cambridge 1906 als Student sogar die Riemannhypothese als funktionentheoretisches Problem von seinem Professor Ernest William Barnes gestellt, ohne Verbindung zur Primzahlverteilung – diesen Zusammenhang musste Littlewood für sich entdecken und bewies in seiner Fellowship-Dissertation, dass der Primzahlsatz aus der Hypothese folgt, was aber in Kontinentaleuropa schon länger bekannt war. Wie er in seinem Buch A mathematician’s miscellany zugab, warf dies kein gutes Licht auf den damaligen Stand der Mathematik in England. Littlewood leistete aber bald darauf wichtige Beiträge zur analytischen Zahlentheorie im Zusammenhang mit der Riemannhypothese. Das Problem wurde im Jahr 1900 von David Hilbert in seiner Liste der 23 mathematischen Probleme als Jahrhundertproblem deklariert, wobei Hilbert selbst es als weniger schwierig als beispielsweise das Fermat-Problem einordnete:[16] In einem Vortrag 1919 gab er der Hoffnung Ausdruck, dass ein Beweis noch zu seinen Lebzeiten gefunden würde, im Fall der Fermat-Vermutung vielleicht zu Lebzeiten der jüngsten Zuhörer; für am schwierigsten hielt er die Transzendenz-Beweise in seiner Problemliste – ein Problem, das in den 1930er Jahren durch Gelfond und Theodor Schneider gelöst wurde.[17] Mittlerweile sind viele der Probleme auf Hilberts Liste gelöst, die Riemannsche Vermutung widerstand jedoch allen Versuchen. Da im 20. Jahrhundert kein Beweis für die Riemannsche Vermutung gefunden wurde, hat das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 dieses Vorhaben erneut zu einem der wichtigsten mathematischen Probleme erklärt und einen Preis von einer Million US-Dollar für einen schlüssigen Beweis ausgesetzt, mit einer Sonderregelung für Gegenbeispiele.[18]

Es gibt auch zur Riemannschen Vermutung analoge Vermutungen für andere Zeta-Funktionen, die teilweise ebenfalls gut numerisch gestützt sind. Im Fall der Zeta-Funktion algebraischer Varietäten (der Fall der Funktionenkörper) über den komplexen Zahlen wurde die Vermutung in den 1930er Jahren von Helmut Hasse für elliptische Kurven und in den 1940er Jahren von André Weil für abelsche Varietäten und algebraische Kurven (auch über endlichen Körpern) bewiesen. Weil formulierte auch die Weil-Vermutungen, zu denen auch ein Analogon der Riemannhypothese gehört, für algebraische Varietäten (auch höherer Dimension als Kurven) über endlichen Körpern. Der Beweis wurde nach Entwicklung der modernen Methoden der algebraischen Geometrie in der Grothendieck-Schule in den 1970er Jahren von Pierre Deligne erbracht.

Neuere Beweis- oder Widerlegungsversuche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1945 behauptete Hans Rademacher, die Vermutung widerlegt zu haben, und erregte damit einiges Aufsehen in den USA. Kurz vor der Veröffentlichung in den Transactions of the American Mathematical Society fand aber Carl Ludwig Siegel doch noch einen Fehler. Alan Turing war ebenfalls der Meinung, die Vermutung sei falsch. Er beschäftigte sich intensiv mit der Berechnung von Nullstellen der Zeta-Funktion und versuchte kurz vor seiner Involvierung in Dechiffrierarbeiten in Bletchley Park, eine mechanische Maschine zu bauen, die ihm dabei helfen sollte, mindestens eine die Vermutung verletzende (und damit widerlegende) Nullstelle zu finden.

Louis de Branges de Bourcia beschäftigte sich jahrzehntelang mit dem Problem. 1985 (kurz nach seinem Beweis der Bieberbach-Vermutung) stellte er einen auf seiner Theorie der Hilberträume ganzer Funktionen basierenden Beweis vor, in dem Peter Sarnak einen Fehler fand. 1989 präsentierte er anlässlich einer Vortragsreihe im Institut Henri Poincaré einen weiteren Beweis, den er aber bald darauf selbst als fehlerhaft erkannte.[19] 2004 veröffentlichte er einen neuen Beweis, der kritisch geprüft wurde. Bereits Jahre zuvor hatte Eberhard Freitag jedoch ein Gegenbeispiel für eine im Beweis aufgestellte Behauptung gegeben, sodass der Beweis mittlerweile als falsch angesehen wird.

Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als verallgemeinerte oder allgemeine Riemannsche Vermutung wird gewöhnlich die folgende Behauptung bezeichnet:[20]

Die analytische Fortsetzung der Dirichletreihe zu jedem beliebigen Dirichletcharakter (-Reihe)
hat im kritischen Streifen ausschließlich Nullstellen auf der Geraden

Aus der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung folgt die Riemannsche Vermutung mit als Spezialfall. Andrew Granville konnte zeigen, dass die (starke) Goldbachsche Vermutung im Wesentlichen zur verallgemeinerten Riemannschen Vermutung äquivalent ist.[20]

Für eine verallgemeinerte Fassung für L-Funktionen der Selberg-Klasse siehe L-Funktion.

Verwandte Vermutungen und äquivalente Formulierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der analytischen Zahlentheorie gibt es weitere Vermutungen, die mit der Riemannschen Vermutung in Beziehung stehen. Die Mertenssche Vermutung besagt

für alle . Dabei ist die Möbiusfunktion und die sogenannte Mertensfunktion.[21] Die Mertenssche Vermutung ist stärker als die Riemannsche Vermutung, wurde jedoch 1985 widerlegt.[22]

In diesem Zusammenhang steht auch die wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation der Riemannschen Vermutung von Arnaud Denjoy.[23] Sei eine zufällige Folge von Werten (1, −1) (das heißt, diese haben gleiche Wahrscheinlichkeit), dann gilt für jedes für die Summe (unter Verwendung der Landau-Symbole)

das heißt, der Betrag der Abweichung vom Mittelwert 0 wächst asymptotisch höchstens so stark wie . Setzt man für die Möbiusfunktion ein, so ist die Riemannhypothese äquivalent zu der Aussage, dass dieses asymptotische Wachstumsverhalten auch für deren Summe (die Mertensfunktion) gilt (Littlewood 1912).[24] Die Riemannhypothese lässt sich dann als Aussage interpretieren, dass die Verteilung der Möbiusfunktion (das heißt, ob Zahlen ohne doppelte Primfaktoren eine gerade oder ungerade Anzahl von Primfaktoren haben) völlig zufällig ist.

Wie schon erwähnt, folgen aus der Riemannschen Vermutung nach Helge von Koch Schranken für das Wachstum des Fehlerterms des Primzahlsatzes. Das Resultat von von Koch ist aber auch äquivalent zur Riemannhypothese.[25] Aus

folgt die Riemannhypothese.

In ähnlicher Form als asymptotischer Fehlerterm zum Primzahlsatz lässt sich die Riemannvermutung auch mit Hilfe der Mangoldt-Funktion oder deren Summe ausdrücken:[26]

wobei der Primzahlsatz äquivalent zu

ist. Daraus lässt sich eine weitere zur Riemannvermutung äquivalente Vermutung ableiten:[27] Für alle gilt:

mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen .

Die Lindelöfsche Vermutung über die Ordnung der Zeta-Funktion entlang der kritischen Geraden ist schwächer als die Riemannsche Vermutung, aber immer noch unbewiesen.

Marcel Riesz zeigte 1916 die Äquivalenz zu einer Vermutung über das asymptotische Verhalten der Riesz-Funktion. Jérôme Franel bewies 1924 die Äquivalenz zu einer Aussage über Farey-Reihen. Anschaulich besagt diese, dass die Anordnung der rationalen Zahlen im Interval (0,1) nach Dezimalbrüchen in linearer Form und die Anordnung in Farey-Folgen in einem wohldefinierten mathematischen Sinn so unterschiedlich wie möglich ist.

Jeffrey Lagarias stellte 2002 eine zur Riemannschen Vermutung äquivalente Vermutung der elementaren Zahlentheorie auf:[28]

für alle . Dabei ist die Summe der Teiler von und die -te harmonische Zahl.

Eine 1958 widerlegte Vermutung über eine mit der Liouville-Funktion gebildete Reihe hätte ebenfalls die Riemannvermutung zur Folge gehabt.

Beweisideen aus der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neue Ideen für den Beweis der Vermutung kamen aus der Physik. Schon David Hilbert und George Polya war aufgefallen, dass die Riemannhypothese folgen würde, falls die Nullstellen Eigenwerte eines Operators wären, wobei ein hermitescher (das heißt selbstadjungierter) Operator ist, der also nur reelle Eigenwerte hat, ähnlich wie die Hamiltonoperatoren in der Quantenmechanik. In den 1970er Jahren fand dann Hugh Montgomery bei einer Unterhaltung mit Freeman Dyson heraus, dass die Verteilung der Abstände aufeinanderfolgender Nullstellen eine ähnliche Verteilung wie die Eigenwerte hermitescher Zufallsmatrizen zeigte (Gaußsches unitäres Ensemble, GUE), was Andrew Odlyzko durch numerische Rechnungen bestätigte. In den 1990er Jahren begannen dann auch Physiker wie Michael Berry nach einem solchen zugrunde liegenden System zu suchen, etwa in der Theorie des Quantenchaos. Weitere Unterstützung finden diese Überlegungen in einer Analogie der „expliziten Formeln“ in der Theorie der Riemannschen Zeta-Funktion mit der Selberg-Spurformel, die die Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators auf einer Riemannfläche mit den Längen der geschlossenen Geodäten in Beziehung setzt, und der Gutzwiller-Spurformel in der Quantenchaos-Theorie. Diese verbindet die Eigenwerte (Energien) der quantenmechanischen Version eines chaotischen klassischen Systems mit den Längen der periodischen Bahnen im klassischen Fall. Bei all diesen Spurformeln (trace formulas) handelt es sich um Identitäten zwischen den Summen der jeweiligen Nullstellen, Bahnkurven-Periodenlängen, Eigenwerte usw.

Ein vom Fields-Medaillen-Preisträger Alain Connes 1996 angegebener Operator passt „fast“. Connes konnte aber bisher nicht die Existenz weiterer Nullstellen außerhalb der kritischen Geraden ausschließen.[29]

Eine weitere Idee aus der Physik, die in Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung diskutiert wurde, sind die „Yang-Lee-Nullstellen“ der ins Komplexe analytisch fortgesetzten Zustandssumme in Modellen der statistischen Mechanik. Chen Ning Yang und Tsung-Dao Lee bewiesen unter Verwendung eines Resultats von George Polya aus der Theorie der Zeta-Funktion, auf das sie Mark Kac aufmerksam machte, dass in bestimmten Modellen die Nullstellen auf einem Kreis lagen, bei anderen Modellen liegen sie auf einer Geraden. Die Lage der Nullstellen bestimmt das Verhalten in Phasenübergängen ähnlich, wie die Nullstellen auf der kritischen Geraden die Feinverteilung der Primzahlen steuern.

All diesen Ideen liegt eine Analogie zugrunde, die sich vereinfacht etwa so beschreiben lässt: Die Primzahlen sind „Elementarteilchen“, die über die Multiplikation in Wechselwirkung treten und so die zusammengesetzten Zahlen aufbauen. Gleichzeitig werden die „Teilchen“ durch die Addition angeordnet. In der Zeta-Funktion werden nun in Form einer Summen- bzw. Produktformel beide Aspekte (additiv / natürliche Zahlen und multiplikativ/Primzahlen) miteinander verbunden.

Eine Verbindung der Riemannschen Vermutung zu eindimensionalen Quasikristallen schlug Freeman Dyson 2009 vor.[30]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. dtv / C.H. Beck, München 2003 und 2004, ISBN 3-423-34299-4 (populäre Darstellung der Geschichte der Vermutung).
  • Barry Mazur, William Stein: Prime Numbers and the Riemann Hypothesis. Cambridge University Press, 2015, ISBN 978-1-107-49943-0, (PDF; 7,6 MB). (Memento vom 15. September 2013 im Internet Archive).
  • John Derbyshire: Prime obsession – Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in Mathematics. Washington 2003, ISBN 0-309-08549-7.
  • Andrew Granville: Refinements of Goldbach’s Conjecture, and the generalized Riemann hypothesis. In: Functiones et Approximatio, Commentarii Mathematici. Band 37, Nr. 1. Faculty of Mathematics and Computer Science of Adam Mickiewicz University, Poznań 2007, S. 159–173 (umontreal.ca [PDF; 184 kB]).
  • Harold Edwards: Riemann’s Zeta Function. New York 1974, Dover 1991, ISBN 0-486-41740-9.
  • Karl Sabbagh: Dr. Riemann´s zeros. Atlantic books, 2002.
  • Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. Bearbeitet von Heath-Brown. Oxford 1987, ISBN 0-19-853369-1.
  • P. Borwein, S. Choi, B. Rooney, A. Weirathmueller: The Riemann hypothesis. A resource for the afficionado and virtuoso alike. (CMS Books in Mathematics 27) Canad. Math. Soc., Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-0-387-72125-5.
  • Julian Havil: Gamma – Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer Verlag, 2007.
  • Jürg Kramer: Die Riemannsche Vermutung. In: Elemente der Mathematik. Band 57, 2002, S. 90–95. hu-berlin.de. (PDF; 400 kB).
  • Dan Rockmore: Stalking the Riemann Hypothesis. Pantheon Books, 2005.
  • Kevin Broughan: Equivalents of the Riemann Hypothesis. 2 Bände, Cambridge University Press, 2017.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Carl Friedrich Gauss Werke, Zweiter Band, Herausgegeben von der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1863, (Brief), S. 444–447.
  2. Bei der hier verwendeten Definition der Bernoulli-Zahlen gilt:
  3. a b Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. 19. Oktober 1859. In: Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1860, S. 671–680.
  4. Zum Beispiel Blog von Terry Tao: Complex analytic multiplicative number theory.
  5. Mit
    folgt
    .
    Nun ist
    .
    Da ist, werden die Potenzreihen der beiden verbleibenden Logarithmen benötigt, also
    .
    Die Summe der beiden Potenzreihen ergeben zusammengefasst nur geradzahlige Potenzen in , sodass gilt
    und schlussendlich erhält man den gewünschten Ausdruck:
  6. Helge von Koch: Sur la distribution des nombres premiers. Acta Mathematica, Band 24, 1901, S. 159–182.
  7. Aus Kochs Resultat ableitbar, aber nicht umgekehrt.
  8. Siegel: Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie. In: Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien, Band 2, 1932, S. 45–80.
    Siegel: Gesammelte Abhandlungen. Band 1, Springer Verlag, 1966.
  9. Laugwitz: Bernhard Riemann. 1996, S. 178.
  10. H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0, S. 164–166.
  11. Gram: Sur les zéros de la fonction de Riemann. In: Acta Mathematica. Band 27, 1903, S. 289–304.
  12. Calculations relating to the zeros. Kapitel 15. In: Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta function.
  13. Jacques Hadamard: Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. 24, 1896, S. 199–220. (PDF; 1,3 MB), dort S. 199 ff.
  14. In Stieltjes’ Nachlass fand sich kein Hinweis auf diese Beweise. Derbyshire: Prime Obsession. S. 160 f. Die Mertensvermutung ist inzwischen widerlegt.
  15. 143 year old problem still has mathematicians guessing. In: New York Times. Die Anekdote ist auch in der Hilbert-Biografie von Constance Reid zu finden.
  16. Andererseits wird Hilbert die vielleicht apokryphe Äußerung zugeschrieben, wenn er nach 1000 Jahren Schlaf aufwachte, wäre seine erste Frage, ob die Riemannsche Vermutung gelöst wäre. Borwein u. a.: The Riemann Hypothesis. S. 58 (ohne Quellenangabe).
  17. Du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. S. 147.
  18. Regeln des Millennium-Preises von der offiziellen Webseite
  19. Die Geschichte seiner Beweise wird von Karl Sabbagh in Dr. Riemanns Zeros dargestellt.
  20. a b Granville: Refinements of Goldbach’s Conjecture. Siehe Literaturverzeichnis.
  21. Weitz / HAW Hamburg: Mathematik ist mehr als Rechnen – Beispiel: Mertenssche Vermutung auf YouTube, abgerufen am 22. März 2020.
  22. A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele: Disproof of the Mertens conjecture. In: J. reine angew. Math. Band 357, 1985, S. 138–160.
    Andrew Odlyzko: Papers on Zeros of the Riemann Zeta Function and Related Topics.
  23. Denjoy: L’Hypothése de Riemann sur la distribution des zéros de , reliée à la théorie des probabilités. In: Comptes Rendus Acad. Sc. Band 192, 1931, S. 656–658. Edwards: Riemanns Zeta Function. 1974, S. 268. Edwards kommentiert diese Interpretation so: „… though it is quite absurd when considered carefully, gives a fleeting glimmer of plausibility to the Riemann hypothesis“.
  24. Littlewood: Quelques conséquences de l’hypothèse que la fonction n’a pas de zéros dans le demi-plan In: Comptes Rendus. Band 154, 1912, S. 263–266. Edwards, loc. cit. S. 261. Littlewood bewies genauer, dass die Riemannhypothese äquivalent zu folgender Aussage ist: Für jedes konvergiert gegen Null für gegen .
  25. Edwards: Riemann’s Zeta function. Kapitel 5.
  26. Eric W. Weisstein: Mangoldt-Funktion. In: MathWorld (englisch).
  27. Andrew Granville in Princeton Companion to Mathematics. Kapitel IV.2.
  28. Lagarias: An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis. In: American Mathematical Monthly. Band 109, 2002, S. 534–543.
  29. Alain Connes: Trace formula in non commutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function. 10. November 1998.
  30. Freeman Dyson: Birds and Frogs. In: Notices AMS. 2009. (PDF; 800 kB).