Benutzer:Fabiangabel/Wallman-Kompaktifizierung

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die Wallman-Kompaktifizierung (auch Wallman-Shanin-Kompaktifizierung) eine Einbettung eines T1-Raumes in einen kompakten topologischen Raum. Diese Kompaktifizierung ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker Henry Wallman benannt.[1]

Sei ein topologischer Raum, der das T1-Axiom erfüllt. Des Weiteren bezeichne die Familie aller Teilmengen von , die nichtleer und bezüglich abgeschlossen sind. Diese Menge ist bezüglich Inklusion halbgeordnet.

Sei nun die Teilfamilie aller Teilmengen von , die bezüglich der vorangehenden Halbordnungsrelation maximal sind und zusätzlich eine endliche Durchschnittseigenschaft besitzen. Das bedeutet, dass für zwei Elemente auch gilt. Es lässt sich auch als die Menge aller abgeschlossenen Ultrafilter auf beschreiben.

Für jede offene Menge sei

.

Auf lässt sich nun eine Topologie durch Angabe der Basis

erklären.

Topologien lassen sich auch eindeutig durch die Angabe einer Basis für die abgeschlossenen Mengen angeben, so dass sich jede abgeschlossene Menge als Schnitt der Basiselemente darstellen lässt. Oft wird daher für die Wallman-Topologie eine Basis für die abgeschlossenen Mengen angegeben. Ist , so definiert man dual zu oben

und definiert eine Topologie auf durch die Basis der abgeschlossenen Mengen

.

Eine Wallman-Kompaktifizierung ist nun gegeben durch die Einbettung

des Raumes in den kompakten Raum .


Allgemeiner lassen sich zur Konstruktion der Wallman-Kompaktifizierung statt der zur Topologie dualen Konstruktion auch Subbasen der abgeschlossenen Mengen verwenden. Dabei ist ein Mengensystem eine Subbasis für die abgeschlossenen Mengen, falls sich jede abgeschlossene Menge als Durchschnitt endlicher Vereinigungen von Basiselementen darstellen lässt.

Für jede stetige Abbildung eines T1-Raumes auf einen kompakten Hausdorff-Raum existiert genau eine stetige Abbildung mit .

Für normale T1-Räume sind die Wallman-Kompaktifizierung und die Stone-Čech-Kompaktifizierung homöomorph.

Einzelnachweise

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<references> [1]

  1. a b Henry Wallman: Lattices and Topological Spaces. In: Annals of Mathematics. Band 39, Nr. 1, 1938, S. 112–126.