Benutzer:Gunther/Topologie

Grundbegriffe

Von zentraler Bedeutung in der gesamten Topologie sind zwei Grundbegriffe: der topologische Raum und die Stetigkeit von Abbildungen oder Funktionen.

Topologische Räume

Topologische Räume sind Mengen mit einer Zusatzstruktur, mit der einige Begriffe zur Verfügung stehen, die im folgenden lediglich anschaulich charakterisiert sind:

Umgebung eines Punktes

Eine Teilmenge des Raumes ist eine Umgebung eines Punktes, wenn sie diesen Punkt und alle Punkte „in der Nähe“ enthält.

Offene Menge

Eine Teilmenge „ohne Rand“.

Abgeschlossene Menge

Eine Teilmenge „mit Rand“.

Üblicherweise definiert man den Begriff des topologischen Raumes durch Eigenschaften der Menge aller offenen Teilmengen des Raumes, aber auch die anderen beiden Begriffe können dafür verwendet werden.

Aus den genannten können auch noch weiterführende Begriffe wie Inneres, Rand oder zusammenhängende Menge formalisiert werden.

Topologische Räume erlauben es außerdem, über Stetigkeit (s. u.) und Konvergenz zu sprechen; für die bekannten Eigenschaften von Grenzwerten ist der Begriff des topologischen Raumes zu allgemein, viele Räume erfüllen aber Zusatzeigenschaften wie das hausdorffsche Trennungsaxiom oder das erste Abzählbarkeitsaxiom.

Eine wichtige Zusatzstruktur, die auf einer Menge eine Topologie induziert, ist eine Metrik, d. h. eine Funktion, die je zwei Punkten einen Abstand zuschreibt.

Stetigkeit

Im Fall reeller Funktionen kann Stetigkeit anschaulich dadurch charakterisiert werden, dass man den Graph der Funktion „mit einem Stift ohne abzusetzen zeichnen kann“. Diese Kohärenz der Funktionswerte lässt sich in zunächst wenig anschaulicher Weise dadurch präzisieren und verallgemeinern, dass Urbilder offener Mengen wieder offen sind.

Der reelle Zwischenwertsatz findet seine Verallgemeinerung in der nun trivialen Aussage, dass das Bild zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen wieder zusammenhängend ist.

Teilgebiete

Mengentheoretische Topologie

In diesem Teilgebiet geht es hauptsächlich um Zusatzeigenschaften von topologischen Räumen und die Implikationen zwischen ihnen. Auch die Frage, welche topologischen Räume zu metrischen Räumen gehören, zählt zu diesem Gebiet. Typische Aussagen sind das Lemma von Urysohn oder der Satz von Tychonow.

Algebraische Topologie

Die algebraische Topologie untersucht topologische Räume mithilfe von Invarianten, die algebraische Strukturen sind. So wird jedem Raum eine Gruppe zugeordnet, die Fundamentalgruppe, und Räume, deren Fundamentalgruppen nicht isomorph sind, müssen „wesentlich verschieden“ sein.

Einer der zentralen Begriffe der algebraischen Topologie ist die Homotopie. Zwei Abbildungen zwischen denselben Räumen heißen homotop, wenn man sie stetig ineinander deformieren kann. Auf diesem Begriff basiert auch eine wichtige Abschwächung des Homöomorphiebegriffes, die Homotopieäquivalenz: Muss es zwischen zwei homöomorphen Räumen zwei zueinander inverse stetige Abbildungen geben, so muss es zwischen homotopieäquivalenten Räumen nur noch zwei bis auf eine Homotopie zueinander inverse stetige Abbildungen geben.

Die meisten Invarianten der algebraischen Topologie wie Homotopie- und Homologiegruppen können zwischen homotopieäquivalenten Räumen nicht unterscheiden.