Benutzer Diskussion:Gunther/Tensorprodukt

Hallo LutzL, zu Deinen Änderungen:

Endlichdimensionalität ist irrelevant. Natürlich habe ich die Basiselemente von 1 bis n numeriert, aber das ist egal (notfalls ist n halt eine Ordinalzahl).
Das Kroneckerprodukt finde ich zu 100% verwirrend. Schon meinen Satz zu Matrizen finde ich grenzwertig, weil Matrizen grundsätzlich unklar bezüglich Ko- bzw. Kontravarianz sind. Dieser Artikel soll nicht Tensor ersetzen.
Was spricht gegen "Daraus folgt"? Ich finde es gut, wenn man dazusagt, wieviel Arbeit hinter einem Schritt steckt.

--Gunther 12:20, 14. Mär 2005 (CET)

Hi, das waren Vorschläge auf die etwas direktere Art.

Endlichdimensionalität ist relevant. Algebraische Basen in unendlichdimensionalen Räumen sind praktisch nutzlos. Man braucht topologische Basen, d.h. normierte Vektorräume. Im Tensorprodukt unendlichdimensionaler Vektorräume steckt weiterhin mehr als nur endliche Linearkombinationen von Basisprodukten bzw. endliche Summen von Vektorprodukten. Wir brauchen also eine Produktnorm – die kann außerdem noch auf verschiedene, nichtäquivalente Weise gewonnen werden – um unendliche Reihen und damit Basisdarstellungen im Tensorprodukt zu definieren.
Vektor=Zeile der Basisvektoren mal Spalte der Koordinaten. Nun pack' in die Zeile die Basisprodukte in lexikalischer Sortierung, d.h. erst nach Index des ersten, dann des zweiten Faktors sortiert. In der Spalte stehen dann die Koordinaten des Tensorprodukts nach Art des Kronecker-Produkts. Bei Matrizen bzw. linearen Operatoren muss man natürlich sowohl das Tensorprodukt im Urbild als auch das im Bild derart mit Basisdarstellungen versehen. Gerade weil diese Interpretation in weiterem Gebrauch ist, und direkt an die Matrixinterpretation anschließt, sollte sie an dieser Stelle aufgeführt werden. Einmal wird der Vektorraum der Matrizen betrachtet, das andere Mal direkt mit Spaltenvektoren hantiert, d.h. die Matrixelemente "sinnvoll" sortiert linear aufgefädelt.
Weil es in Analogie geschieht. Bei "Es folgt" erwarte ich die Verknüpfung logischer Aussagen, hier werden jedoch Interpretationsmöglichkeiten verknüpft.

--LutzL 14:27, 14. Mär 2005 (CET)

Schon ok, ich bin ja froh, dass ich nicht allein bin.

Endlichdimensionalität ist irrelevant :-) Ich kann ohne weiteres Skalare von Q nach C erweitern. Und dass ich dafür eigentlich keine Basis benötige, zeigt ja die Definition für Tensorprodukte über Ringen.
Vervollständigte Tensorprodukte für irgendwelche Sachen mit Topologie haben zumindest in diesem Teil des Artikels nichts verloren, da stimme ich Dir zu.
Meine Vorstellung wäre, in diesem Artikel Basiswahlen und Koordinaten auf ein Minimum zu reduzieren, ebenso Aussagen über einzelne Tensoren. Dafür ist der Artikel Tensor da, der sich ja mit so etwas ausführlich auseinandersetzt. Man kann die Beziehung zum Tensorprodukt auch auf der Seite Kronecker-Produkt klären, da steht ja ohnehin sonst fast nichts.
Mir war an dieser Stelle eigentlich nur wichtig, dass man sich halbwegs klarmachen kann, was v tensor w für eine Konstruktion ist, also sozusagen "wie sich das Tensorprodukt vom direkten Produkt unterscheidet", denn man tut ja häufig so, als bestehe das Tensorprodukt nur aus Elementen der Form v tensor w. Und da halte ich eine Matrix als erste Anschauung für geeigneter als eine lineare Anordnung.
Aussage 1: Es gibt einen kanonischen Isomorphismus zwischen V* tensor W und Hom(V, W). Daraus folgt induktiv

(V^{*})^{\otimes r}\otimes V^{\otimes s}=\mathrm {Hom} (V,\mathrm {Hom} (V,\mathrm {Hom} (...,V^{\otimes s})...))

,

und das ist mehr oder weniger Aussage 2: Elemente der linken Seite entsprechen r-Multilinearformen mit Werten in

V^{\otimes s}

.

--Gunther 15:32, 14. Mär 2005 (CET)

Endlichdimensionalität ist relevant. Zumindest einer der Faktoren sollte endlichdimensional sein, in diese Kategorie fallen auch die Erweiterungen des Skalarkörpers. Wenn beide Faktoren unendlichdimensional sind, dann gibt es in rein algebraischer Darstellung ein Definitionsproblem. Basen funktionieren aus o.g. Gründen nicht, die andere Definition über formale Summen/Reihen über Paaren von Vektoren und Faktorisierung nach einer Äquivalenzrelation hat das Problem, das überabzählbar viele Äquivalenzregeln aufgezählt werden müssten. Ich würde vorschlagen, in der allgemeinen Definition auf endlicher Dimension zu bestehen und in der Skalarerweiterung hinzuweisen, dass $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ bzgl. der Dimensionen glatt geht, dass aber $V\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ als Q-Vektorraum genauso häßlich ist wie R als Q-Vektorraum (und nicht häßlicher), was aber uninteressant ist, da das Produkt nur als R-Vektorraum betrachtet wird. Evtl. $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ als Beispiel durchrechnen, reell 4-, komplex 2-dimensional.
Apropos Dual und Multilinearformen: Das geht auch nur für endlichdim. Vektorräume.
Was Du meinst, und was auch die Physiker mit ihren ko- und kontravarianten Indizes umtreibt, ist das Thema simultane Basiswahl bzw. simultane Koordinatentransformation. Das muss in der Tat hier nicht rein, das sollte dann aber auch nicht so massiv eingeschleppt werden.
Das folgt nicht induktiv, sondern direkt, wenn V und W aus der ersten Aussage selbst als Tensorprodukte definiert werden,

V=V_{1}^{*}\otimes \dots \otimes V_{r}^{*}

,

W=W_{1}\otimes \dots \otimes W_{r}

Wie ein mehrfaches Tensorprodukt in diese Bestandteile aufgespalten wird, ist willkürlich, nicht folgerichtig.

Es fehlt generell eine Motivation, warum es egal ist, in welcher Reihenfolge ein dreifaches Tensorprodukt gebildet wird. Diese Assoziativität ist in einer mathematischen Darstellung wichtig.

Allgemein, was hindert Dich, diesen Artikel in die freie Wildbahn zu entlassen? Über Wikipedia-Durchschnitt ist er auf jeden Fall (s. Kategorie:Digitale Signalverarbeitung), doppelte Darstellungen sind in diesem Bereich, wo die Physiker ihre eigene Mathematik machen, ebenfalls normal.

Dann streben wir an, aus ((Tensor)) einen Übersichtsartikel zu machen, und als Spezialthemen 1) ((Tensorprodukt)) zur Darstellung aus mathematischer Sicht, 2) evtl. ((Tensorrechnung)) für die "einfachen" Tensoren in kanonischer Basis, d.h. als Erweiterung der Matrixrechnung, 3) ((Tensoralgebra)) für Tensorpotenzen eines Vektorraums, in welchen dann symmetrische Unterräume (Young-Tableaus?), Graßmann-Algebra und Clifford-Algebra, sowie die universale Einhüllende einer Lie-Algebra als Quotienten an einem Platz versammelt sind, 4) ((Koordinatendarstellung von Tensoren)) für die "relativistischen" Tensoren der Physiker.

--LutzL 08:33, 15. Mär 2005 (CET)

Ich finde Endlichdimensionalität immer noch künstlich. Überabzählbar viele Erzeuger für die Untergruppe in der allgemeinen Definition sind ganz normal, das ist schon bei $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ so. Allerdings finde ich $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ kein geeignetes Anfangsbeispiel, weil es zwei verschiedene C-Vektorraumstrukturen trägt. Aber in der Algebra will man gelegentlich auch Tensorprodukte $L\otimes _{K}L$ mit unendlichen Körpererweiterungen L|K bilden können. (Schön ist das nicht, aber das ist nicht die Frage.)
Bin die Aussagen nochmal durchgegangen. Steht jetzt überall die Endlichdimensionalität dabei, wenn sie nötig ist?
Die o.a. Formel folgt nicht direkt, wenn man noch nicht weiss, dass das Tensorprodukt Multilinearformen klassifiziert. Die rechte Seite mit den Multilinearformen zu identifizieren, ist aber trivial.

Ansonsten kläre ich mal noch die Algebrenfrage, dann kann ich den Tensorprodukt-Teil ja rausstellen. Zum Tensoralgebra-Teil fehlen noch die universellen Eigenschaften. Ob man jede Tensoralgebra-Struktur dort unterbringen sollte, bin ich etwas skeptisch. Universelle Einhüllende oder Clifford-Algebren sollten ja auch eigene Artikel wert sein.--Gunther 10:31, 15. Mär 2005 (CET)

Das war schlecht ausgedrückt. Jede Regel steht natürlich (meist) für unendlichviele Elemente der Gruppe. Um aber "normal" rechnen zu können, sind im unendlichdim. Fall, z.B. bei einem Basiswechsel, unendlich viele Anwendungen der Regeln notwendig, was durch die Axiomatik nicht abgedeckt ist. Es kann immer nur endlich viele Ersetzungen geben. ... Ich merke gerade, dass wir ja in der freien Algebra sind. Dann geht die Konstruktion o.k., führt aber auf in meinen Augen exotische Resultate, da z.B. mit I=[0,1] C(I)⊗C(I) nicht isomorph zu irgendetwas Sinnvollem ist, schon garnicht zu C(I×I).
Die Eingangskonstruktion mit der Basisdarstellung klappt auf jeden Fall nur im Endlichdimensionalen, schon allein wegen der andernfalls auftretenden unendlichen Reihen.
Ich habe nichts gegen die Formel, die gehört an diese Stelle, nur dagegen, dass es so aussieht, als ob eine Interpretation logisch aus der anderen "folgt".
Falls Du den angegebenen Links folgst, wirst Du die entsprechenden Artikel finden, auch wenn in der Graßmann-Algebra noch ein Fehler steckt. Ich finde, dass dieser Artikel durch den Einschluss der Tensor-Algebra schon wieder überladen wird. Man sollte gerade noch die (r,s)-Tensorpotenzen definieren und dann auf Tensorbündel und Tensoralgebra verweisen.

--LutzL 11:44, 15. Mär 2005 (CET)

aber immerhin gibt es eine kanonische Abbildung $C(I)\otimes C(I)\to C(I\times I)$ , also ich kann zu zwei Funktionen f,g in C(I) die Funktion $(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)$ definieren.

Basisdarstellungen "sind" direkte Summen, und Tensorprodukte vertauschen mit beliebigen (auch unendlichen) direkten Summen.
Ich bezog mich auf die Formel

(V^{*})^{\otimes r}\otimes V^{\otimes s}=\mathrm {Hom} (V,\mathrm {Hom} (V,\mathrm {Hom} (...,V^{\otimes s})...))

von weiter oben, und die ist Folge der entsprechenden Formel mit nur einem Hom. Die Interpretation der rechten Seite dieser Formel als Multilinearformen ist trivial.

Ich hatte Deinen vorherigen Vorschlag so verstanden, dass alles ab "Die Tensoralgebra" in einen separaten Artikel kommt, und das halte ich auch für gut. Welche der Tensoralgebra-verwandten Konstruktionen eigene Artikel verdienen (U ja, S nein usw.), kann man ja immer noch überlegen.

--Gunther 12:45, 15. Mär 2005 (CET)

Diese Abbildung ist aber kein Isomorphismus. Stell mal sin(xy) als direkte, wohlgemerkt endliche, Summe von Produkten dar.
Nein. Denn dazu müßten die unendlichen Summen, korrekter Reihen, ja irgendwie definiert sein. Die gängige Art ist als Grenzwert von Partialsummen, Grenzwerte in Vektorräumen gehen am schmerzlosesten mit einer Norm, wir drehen uns om Kreise.
Ich würd' trotzdem verschiedene Vektorräume nehmen, nicht alles denselben V.
Gut, war für mich nicht direkt zu erkennen. In dieser Kürze mit - ich weiß nicht welchen - kleinen Ergänzungen, ansonsten Verweise. Z.B. die gemeinsame Struktur der Universalkonstruktion, (irreduzible) Darstellungen der symmetrischen Gruppe durch Vertauschungsoperatoren(?)

--LutzL 13:43, 15. Mär 2005 (CET)

Nein, habe ich auch nicht behauptet.
Nein, unendliche direkte Summen sind etwas anderes und haben nichts mit Grenzwerten zu tun.
Ok, wird halt notationstechnisch aufwendiger. Und das Tangentialbündel gibts nur einmal :-)
Was Du mit den Darstellungen der symmetrischen Gruppe meinst, ist mir nicht klar. Möchtest Du $V^{\otimes n}$ in die isotypischen Komponenten zerlegen? Es gibt auch noch das kleine Problem, dass man z.B. die äußere Algebra (in Charakteristik 0?) entweder als Unterraum oder als Quotienten definieren kann.

--Gunther 14:45, 15. Mär 2005 (CET)

Gut, habe ich eingesehen, dass das geht. Wobei dann streng nach dem Prinzip der algebraischen Basis, bzw. der linearen Hülle trotzdem nur endliche Linearkombinationen der möglicherweise unendlichen Basis genommen werden sollten. Bzw. dies und eine Konstruktion mit unendlichen Summen sicher nicht isomorph sind. Ich finde nur dieses formallogisch korrekte Extrem dem Stand der Mathematik in der Wikipedia unangemessen. Bis vor 1 1/2 Jahren wurde hier nur Abiturniveau angepeilt, jetzt ist etwa 2. Semester bis Vordiplom Mathematik die allgemeine Breite. Daher, um nicht unnötig Verwirrung zu stiften (Physiker sollen es ja auch verstehen): Tensorprodukt endlichdim. VR wie gehabt, Hinweis, dass man formallogisch algebraisch diese Definition auch weitertreiben kann, abstrakte Definition als kleinster VR, für den w:=j(u,v) bi-injektiv ist, für normierte Räume ein ebenfalls normierter Raum, Einbettung j bi-injektiv, lineare Hülle des Bildes von j dicht. Nicht alle normierten Tensorprodukte sind isomorph.
..Ja, zumindest eine kurze Erläuterung, was isotypischen Komponenten sind, dass die Graßmann-Algebra dazugehört, dass die Riemannsche Krümmung in $S^{2}(\Lambda ^{2}(TM))\subset \Lambda ^{4}(TM)$ "zu Hause" ist. Klassifikation muss nicht sein bzw. wäre ein eigener Artikel.--LutzL 07:31, 16. Mär 2005 (CET)

Hm, auf der Wunschliste für Artikel standen auch schon K-Theorie und Galoiskohomologie. Das ist nicht 2. Semester. Ich bin dafür, einen Begriff so allgemein wie möglich einzuführen, wenn es die Darstellung nicht erschwert. Und so ein gelegentlich eingestreutes "endlichdimensional" kann man ja auch einfach überlesen, wenn man will.
Muss ich mal drüber nachdenken. Es gibt auch bisher keinen Platz für Tensorprodukte von Vektorbündeln.

Ach ja, und ich habe den Artikel rausgestellt.--Gunther 09:57, 16. Mär 2005 (CET)

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