Bernoullische Ungleichung

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Eine Veranschaulichung der Bernoulli-Ungleichung. Hier die beiden Funktionen (roter Graph) und (blauer Graph) mit dem konkreten Wert . Der rote Graph liegt für stets oberhalb des blauen Graphen.

In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt.

Für jede reelle Zahl [1] und jede nicht negative ganze Zahl gilt

.[2]

Benannt ist die Ungleichung nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli.[3]

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jakob Bernoulli veröffentlichte diese Ungleichung zuerst in seiner Arbeit Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis (Basel, 1689), in der er diese Ungleichung häufig anwandte.[4]

Laut Joseph E. Hofmann geht die Ungleichung aber auf den Mathematiker Sluse zurück, der sie 1668 in seiner Arbeit Mesolabum veröffentlicht haben soll.[5][4]

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis über vollständige Induktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die bernoullische Ungleichung lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen.[6] Der Induktionsanfang ist erfüllt:

.[2]

Als Induktionsvoraussetzung gelte nun für , und . Dann folgt wegen und der Induktionsvoraussetzung

Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung für alle .

Alternativer Beweis für nicht-negative x[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für kann die Bernoulli-Ungleichung auch über den binomischen Lehrsatz bewiesen werden. Es gilt hier

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Behauptung:

für alle reellen .

Beweis: Zunächst sei definiert durch

.

Dann gilt nach der Bernoulli-Ungleichung

,

also

.

Es ist aber

.

Damit ist dann auch

und letztlich

Verwandte Ungleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Strikte Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet, die ein „strikt größer“ statt eines „größer gleich“ verwendet:

Für alle reellen Zahlen , und alle natürlichen Zahlen gilt

.

Der Beweis lässt sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis für die Formulierung mit „größer gleich“ durchführen.[3]

Reelle Exponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für alle gilt

,

wenn , und

,

wenn .

Variable Faktoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man keine Potenz, sondern ein Produkt unterschiedlicher Faktoren, so lässt sich folgende Verallgemeinerung mittels vollständiger Induktion zeigen:

falls für alle oder falls für alle und .[3]

Setzt man dabei und betrachtet den Spezialfall , also , so erhält man die sogenannte Weierstraß-Produkt-Ungleichung[7][8][9]

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Exponentialfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die bernoullische Ungleichung ist bei vielen Abschätzungen hilfreich. Es sei fix, dann ist für hinreichend großes . Mit der bernoullischen Ungleichung gilt daher

für hinreichend großes .

Wegen

ist somit die Ungleichung

für alle

bewiesen.

Beweis von Ungleichungen mit Potenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Konvergenz für reelle Zahlen mit zu beweisen, muss unter anderem ein gefunden werden, so dass für ein beliebig vorgegebenes ist. Hierfür kann die Bernoulli-Ungleichung verwendet werden. Zunächst formt man die Zielungleichung durch Äquivalenzumformungen um:

Wegen ist . Setzen wir so ist und außerdem nach der Bernoulli-Ungleichung

Alternativ kann also auch ein gefunden werden, so dass ist. Ist nämlich dann folgt aus obiger Ungleichung , dass automatisch auch ist. Die Existenz von ist durch das archimedische Axiom gewährleistet.

Der Vorteil der obigen Vorgehensweise ist der, dass hier im Beweis nicht auf den Logarithmus zurückgegriffen werden muss, welcher am Anfang einer Analysis-Vorlesung in der Regel noch nicht zur Verfügung steht.

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter Verwendung einer Abschätzung mit der bernoullischen Ungleichung lässt sich die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel über vollständige Induktion beweisen. Es ist sogar so, dass die Bernoulli-Ungleichung äquivalent zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist.[10]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Bernoullische Ungleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Quellen und Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. In der Tat gilt die Ungleichung sogar für und ungerade , allerdings lässt sich dies nicht mehr mit vollständiger Induktion, sondern nur durch Vergleich der Ableitungen zeigen. Dazu zeigt man, dass für negative Ableitung und damit keine Extrema hat, während der Wert für und positiv ist. In diesem Fall hat ein lokales Maximum in .
  2. a b Für den Fall und muss vereinbart werden.
  3. a b c Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1., B. G. Teubner Stuttgart, 1984, ISBN 3-519-22221-3, S. 61, Kapitel 7.9 und S. 68, Aufgabe 7.17
  4. a b History of Science and Mathematics.
  5. Über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci. (1963), Seite 177.
  6. http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung39/
  7. http://planetmath.org/encyclopedia/WeierstrassProductInequality.html
  8. * Adam Kertesz und Eric Weisstein: Weierstrass Product Inequality. In: MathWorld (englisch).
  9. http://www.cut-the-knot.org/Generalization/wineq.shtml
  10. Siehe Some Equivalent Forms of Bernoulli’s Inequality: A Survey. Seite 11.