Potenzfunktion

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Graphen einiger Potenzfunktionen

Als Potenzfunktionen bezeichnet man elementare mathematische Funktionen der Form

Wenn man nur natürliche oder ganzzahlige Exponenten betrachtet, schreibt man für den Exponenten meistens :

Ist der Exponent eine natürliche Zahl, so ist der Funktionsterm ein Monom.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • konstante Funktion: (für r = 0)
  • (homogene) lineare Funktion/Proportionalität: (für r = 1)
  • Quadratfunktion und Vielfache davon: (für r = 2)
  • Aus den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten werden die ganzrationalen Funktionen zusammengesetzt, aus denen mit ganzzahligem Exponenten die rationalen Funktionen.
  • Für mit ergeben sich Wurzelfunktionen.

Definitions- und Wertemenge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die maximal mögliche Definitionsmenge hängt vom Exponenten ab. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen nicht zulässt, dann kann sie mit der folgenden Tabelle angegeben werden:

r > 0 r < 0

Bei den Wertemengen muss man zusätzlich noch das Vorzeichen von a beachten; wenn ist, kommt es außerdem auch noch darauf an, ob r eine gerade oder ungerade Zahl ist:

r > 0 r < 0
r gerade
oder
r ungerade r gerade
oder
r ungerade
a > 0
a < 0

Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Graphen der Potenzfunktionen mit natürlichen heißen Parabeln -ter Ordnung, die mit ganzzahligen negativen Hyperbeln -ter Ordnung. Der Parameter a drückt eine Streckung des Graphen bezüglich der y-Achse um den Faktor |a| und außerdem Spiegelung an der -Achse aus, falls ist.

Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge , dann besteht ihr Graph aus zwei Ästen, ansonsten gibt es nur einen Ast.

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nur die Graphen von Potenzfunktionen mit sind symmetrisch; genauer: sie sind gerade für gerade und ungerade für ungerade . Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verhalten für x → ±∞ und x → 0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle Potenzfunktionen mit positiven Exponenten haben eine Nullstelle bei , steigen (aber immer langsamer als die Exponentialfunktion ) und gehen gegen für . Für ergibt sich das Verhalten für aus der Symmetrie.

Alle Potenzfunktionen mit negativen Exponenten gehen gegen für . Sie fallen und gehen gegen für .

Stetigkeit, Ableitung und Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Potenzfunktion ist stetig auf ihrer Definitionsmenge.

Die zugehörige Ableitungsfunktion ist (siehe Potenzregel)

Diese Formel gilt für alle und alle , wenn nur an der Stelle definiert ist. Sie gilt auch an der Stelle , wenn ist. Für ist die Funktion stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle .

Zum Beispiel ist gültig in ganz (bzw. sogar in ganz , wenn man ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt - siehe unten).

Für eine beliebige nicht negative rationale Zahl ist die Formel

für alle Intervalle, die Teilmengen der Definitionsmenge sind, gültig.

Zum Beispiel gilt:

.

Potenzfunktionen mit Wurzeln aus negativen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden nur Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten betrachtet, bei denen der Nenner des gekürzten Exponenten ungerade ist, und es wird erklärt, wie man deren Definitionsmenge auf negative Zahlen erweitern kann. Im Folgenden wird dann erläutert, welche der oben erwähnten Eigenschaften der Funktionen dadurch geändert werden.

Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(→ Siehe auch Potenz)

In den bisherigen Abschnitten wurde die in vielen Schulbüchern übliche Konvention verwendet, dass Wurzeln nur für nicht-negative Radikanden definiert sind. Man kann jedoch auch ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulassen. Für ungerades n und beliebiges definiert man, analog zur bekannten Definition für positive Radikanden:

ist diejenige (eindeutige) reelle Zahl , für die gilt.

Beispielsweise wäre nach dieser Definition die Lösung der Gleichung gegeben durch (wohingegen man nach der üblichen Definition ohne Wurzeln aus negativen Zahlen schreiben müsste).

Definitions- und Wertemenge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Potenzfunktionen mit den eingangs erwähnten Eigenschaften kann man nun den Definitionsbereich auf negative erweitern : Sei mit , , dabei ungerade, und seien und teilerfremd, dann gilt:

(oder, was äquivalent ist, ).

(Anmerkung: Ist , dann ergibt dies wieder eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten.)

Für ist die Definitionsmenge dieser Funktion dann gleich , für ist sie gleich .

Für die Wertemenge muss man wieder das Vorzeichen von a beachten. Außerdem kommt es nun auch noch darauf an, ob eine der Zahlen oder gerade ist (d.h. das Produkt gerade ist) oder ob diese beiden Zahlen ungerade sind (d.h. das Produkt ungerade ist):

n > 0 n < 0
gerade ungerade gerade ungerade
a > 0
a < 0

Symmetrie und Verhalten für x → ±∞ und x → 0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Symmetrie gilt ähnliches wie bei ganzzahligen Exponenten: die Funktion ist gerade für gerade und ungerade für ungerade . Ihr Verhalten für und für ist dann von ihren Symmetrieeigenschaften und von ihrem Verhalten auf der rechten Halbachse definiert.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Potenzfunktionen haben vielfältige Anwendungen in Wirtschaft, Natur und Technik:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]