Brennpunkt (Geometrie)

Verschiedene geometrische Kurven, insbesondere Kegelschnitte, besitzen Brennpunkte. Unter anderem lassen sich diese Kurven anhand der Lage ihrer Brennpunkte beschreiben. Selbst wenn von einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel ausschließlich deren Kurvenlinie auf dem Papier gegeben ist, lassen sich alle Symmetrieelemente und letztlich auch die Brennpunkte rein als Konstruktion mit Zirkel und Lineal bestimmen.

Ellipse

→ Hauptartikel: Ellipse

Brennpunkteigenschaften einer Ellipse

So ist eine Ellipse die Menge der Punkte, die von zwei Brennpunkten eine bestimmte Abstandssumme aufweisen, zumeist als $2a$ bezeichnet. Der Abstand eines der beiden Brennpunkte zum Mittelpunkt der Ellipse, gewöhnlich mit e gekennzeichnet, wird lineare Exzentrizität genannt.

Die Verbindungsgeraden von einem Punkt auf der Ellipse zu den zwei Brennpunkten liegen spiegelbildlich zur Normalen der Ellipse in diesem Punkt. Das erklärt, dass sich Lichtstrahlen, die von einem Brennpunkt der (extrudierten, reflektierenden) Ellipse ausgehen, im anderen Brennpunkt wieder sammeln.

Konstruktion für Mittelpunkt, Achsen und Brennpunkte

Ist von einer Ellipse nur deren Linie dargestellt, dienen zwei bekannte Eigenschaften bezüglich Mittelpunkt und Brennpunkte zur Lösung allein mit Zirkel und Lineal.

• Werden zwei zueinander parallele Sehnen jeweils halbiert, so liegt der Mittelpunkt $M$ auf der Geraden, die durch die Mitten der beiden Sehnen verläuft. Wiederholt man diesen Konstruktionsschritt, wird der Mittelpunkt $M$ durch Verbinden der Sehnenmitten bestimmt.

• Wird ein Kreisbogen um den Mittelpunkt $M$ mit einem Radius kleiner als die halbe Hauptachse ${\overline {MS_{2}}}$ gezogen, liefern die Schnittpunkte mit der Ellipse eine Sehne ${\overline {IJ}}$, die parallel zur Hauptachse liegt. Eine Parallele zur Sehne ${\overline {IJ}}$ durch den Mittelpunkt $M$ erzeugt die Hauptachse ${\overline {S_{1}S_{2}}}$.

• Zeichnet man einen Halbkreis um den Mittelpunkt $M$ mit Radius gleich der halben Hauptachse ${\overline {MS_{1}}}$ und legt an die Ellipse eine Tangente durch den Scheitelpunkt $S_{3}$ der Nebenachse, entsteht im Halbkreis die Sehne ${\overline {KL}}$. Die abschließend gefällten Lote von den Endpunkten $K$ und $L$ der Sehne schneiden die Hauptachse in den Brennpunkten $F_{1}$ und $F_{2}$.

Von einer Ellipse ist nur deren Linie dargestellt, Konstruktion der Achsen und der Brennpunkte,

Animation der Konstruktion mit 8 Bildern

Parabel

→ Hauptartikel: Parabel

Eine Parabel hat nur einen Brennpunkt. Sie lässt sich als Grenzfall einer Ellipse deuten: Einer von deren zwei Brennpunkten ist ins Unendliche gerückt. Der Brennpunkt einer Parabel mit Gleichung $y=ax^{2}$ (Scheitelpunkt im Ursprung) hat die Koordinaten $\left(0\left|{\frac {1}{4a}}\right.\right)$. Die Konzentration paralleler Strahlen in einem Punkt im Parabelbrennpunkt des Paraboloids bzw. das Erzeugen paralleler Strahlung aus einer Punktquelle wird beim Parabolspiegel genutzt.

Konstruktion für Achse und Brennpunkt

Ist von einer Parabel nur deren Linie dargestellt, nutzt man zwei bekannte Eigenschaften der Parabel bezüglich Achse und Brennpunkt zur Lösung nur mit Zirkel und Lineal.

• Werden zwei zueinander parallele Sehnen jeweils halbiert, dann ist die Gerade $g_{1}$, gezogen durch die Mitten der Sehnen, eine Parallele zur gesuchten Achse. Mit dem Errichten der Senkrechten $g_{2}$ auf die Gerade $g_{1}$ wird eine Sehne der Parabel erzeugt. Die Mittelsenkrechte $ms$ der Sehne $g_{2}$ liefert den Scheitelpunkt $S_{2}$ und entspricht der Parabelachse.

• Die Tangente $t$ ist eine Winkelhalbierende. Der Winkel $\alpha$ wird von der Parallelen $g_{3}$ zur Achse $ms$ durch Punkt $H$ und vom Abstand $|{\overline {HF}}|$ eingeschlossen. Die Tangente $t$ halbiert auf der Scheitelgeraden $g_{4}$ die Strecke ${\overline {IS}}$ im Punkt $J$. Schließlich erhält man mithilfe der zur Tangente $t$ senkrecht stehenden Geraden $g_{5}$ den Brennpunkt $F$.

Von einer Parabel ist nur deren Linie dargestellt, Konstruktion der Achsen und der Brennpunkte,

Animation der Konstruktion mit 9 Bildern

Hyperbel

→ Hauptartikel: Hyperbel

Auch eine Hyperbel besitzt zwei Brennpunkte; in diesem Falle ist für jeden Punkt der Hyperbel die Abstandsdifferenz von diesen Punkten konstant. Zweischalige Hyperboloide können Licht nicht wie Rotationsparaboloide oder verlängerte Rotationsellipsoide bündeln, jedoch wird Licht, das vom inneren Brennpunkt ausgeht, in der Hyperboloidschale so reflektiert, als ob es vom äußeren Brennpunkt ausginge. Außerdem treten in Interferenzmustern Hyperbeln als Folge der Überlagerung von Kreiswellen auf, deren Quellen in den Brennpunkten der Hyperbeläste liegen. Die Abstandsdifferenz der beiden in den Brennpunkten liegenden kohärenten Lichtquellen zu einer Hyperbel der Lichtverstärkung ist hierbei $n\cdot \lambda$ ($n$ - natürliche Zahl f. jede Hyperbel, $\lambda$ - Wellenlänge).

Konstruktion für Achsen und Brennpunkte

Ist von einer Hyperbel nur deren Linie dargestellt, ist zur Lösung als Konstruktion mit Zirkel und Lineal die enge Verwandtschaft zur Ellipse hilfreich. Die Achsen der Kurve lassen sich über die Mittelpunkte paralleler Sehnen bestimmen. Zum Finden der Brennpunkte nutzt man die formale Ähnlichkeit der Gleichungen beider Kegelschnitte.

• Werden in beiden Ästen der Hyperbel zwei zueinander parallele Sehnen halbiert und durch deren Mitte jeweils eine Gerade gezogen, so wird der Mittelpunkt $M_{0}$ (ähnlich wie in Ellipse) als Schnittpunkt der beiden Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ bestimmt.
• Zieht man einen Kreisbogen um den Mittelpunkt $M_{0}$ mit einem beliebigen Radius, so liefern die Schnittpunkte mit der Hyperbel eine Sehne ${\overline {AN}}$, die parallel zur Hauptachse liegt. Eine Parallele zur Sehne ${\overline {AN}}$ durch den Mittelpunkt $M_{0}$ erzeugt die Hauptachse $g_{3}$ sowie die Scheitelpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$; die nachfolgende Mittelsenkrechte $m_{s}$ der Sehne ${\overline {AN}}$ ist die zweite Achse.
• Um eine Ellipse als Hilfsmittel verwenden zu können, werden die halben Längen der Haupt- und Nebenachse benötigt. Hierzu zieht man auf der Hyperbelachse $m_{s}$, mit beliebigem Abstand $k$ zur Achse $g_{3}$, einen Halbkreis um den Mittelpunkt $M_{1}$ mit Radius $|{\overline {M_{0}S_{2}}}|$. Mit dem Schnittpunkt $O$ ergibt sich die halbe Länge der Nebenachse $|{\overline {M_{1}O}}|=b_{E}$. Eine Senkrechte zur Hyperbelachse $m_{s}$ durch den Mittelpunkt $M_{1}$ liefert die Brennpunkte $F_{1E}$, $F_{2E}$ und mit $|{\overline {F_{2E}O}}|$ die halbe Hauptachse $a_{E}$ der Ellipse. Der anschließende Halbkreis um $M_{1}$ mit Radius $|{\overline {F_{2E}O}}|$ bestimmt die Scheitelpunkte $S_{1E}$ und $S_{2E}$. Eine ab dem Scheitelpunkt $S_{2E}$ gezogene Parallele zur Achse $m_{s}$ schneidet die Hyperbel in $P$. Der Kreisbogen ab $P$ um $S_{2}$ (vorteilhaft, falls $F_{2}$ zu nahe an dieser Parallelen liegen würde) liefert $P'$. Eine Parallele zur Achse $g_{3}$ ab $P'$ bestimmt den Schnittpunkt $Q$. Schließlich liefert der Halbkreis um $M_{0}$ durch $Q$ die beiden Brennpunkte $F_{1}$ und $F_{2}$ der Hyperbel.

Von einer Hyperbel ist nur deren Linie dargestellt, Konstruktion der Achsen und der Brennpunkte,

Animation der Konstruktion mit 12 Bildern

Kreis

Der Kreis kann als weiterer Grenzfall einer Ellipse aufgefasst werden, bei dem die beiden Brennpunkte (im Kreismittelpunkt) zusammenfallen.