CAR-Algebra

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Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnet die C*-Algebra der komplexen -Matrizen, so kann man vermöge des isometrischen *-Homomorphismus

als Unteralgebra von auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

Kanonische Antivertauschungsrelationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein separabler Hilbertraum und eine lineare Abbildung in die C*-Algebra der stetigen, linearen Operatoren auf mit folgenden Eigenschaften:

für alle Vektoren .

Man sagt, erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung , denn es gilt: [1]

  • Die von allen Operatoren erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.

Ist eine Orthonormalbasis von , so kann die Einbettung mit obiger Einbettung identifiziert werden ( steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

Als UHF-Algebra und AF-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte -Gruppe ausgezeichnet. Diese ist mit der durch [0,1] gegebenen Skala[2]. steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

Produktzustände und Typ III-Faktoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jedem kann man rekursiv Zustände definieren, wobei

  • die identische Abbildung sei und
  • für jedes , wobei als -Matrix mit Elementen aus geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von auf gleich , denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von nach ist

.

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand , der auf allen mit übereinstimmt. Dieser heißt der zu gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.

Zum Zustand gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung auf einem Hilbertraum . Für ist das Bild eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist.[3] Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall sind nicht isomorph.[4]

GICAR-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist mit , so erfüllt auch die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den bzw. von den erzeugte C*-Algebra, wobei den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus erhält, den man Eichautomorphismus nennt.

Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von , die unter allen Eichautomorphismen invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt, sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreiecks [5]:

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.5.4.
  2. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example IV.3.4.
  3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 6.5.15.
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 8.15.13.
  5. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1: Example III.5.5.