Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

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Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Schwarzsche Ungleichung oder Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z. B. in der Linearen Algebra (Vektoren), in der Analysis (unendliche Reihen), in der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie bei Integration von Produkten. Außerdem spielt sie in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, wie etwa beim Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation.

Benannt ist die Ungleichung nach den Mathematikern Augustin-Louis Cauchy, Hermann Amandus Schwarz und Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski.

Allgemeiner Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ungleichung sagt aus: Wenn und Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums mit innerem Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt bzw. innere Produkt die Beziehung

Gleichheit gilt genau dann, wenn und linear abhängig sind.

Äquivalente Formulierungen erhält man unter Verwendung der von dem Skalarprodukt induzierten Norm :

bzw.

Im reellen Fall kann man auf die Betragsstriche verzichten:

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf den Raum mit dem Standardskalarprodukt angewandt, erhält man:

Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:

Für quadratisch integrierbare Zufallsvariablen erhält man:

Diese drei Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.

Auf quadratische Matrizen angewandt, erhält man für die Spur:

Im lässt sich die Aussage der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung in Form einer Gleichung präzisieren:

Der Summand ist stets nicht-negativ. Er ist genau dann Null, wenn und linear abhängig sind.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy, Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski und Hermann Amandus Schwarz. Bei Cauchy findet sich die Summenform der Ungleichung in seiner Analyse algébrique (1821).[1] Die Integralform der Ungleichung wurde historisch erstmals 1859 von Bunjakowski in einer Arbeit über Ungleichungen zwischen Integralen veröffentlicht; Schwarz veröffentlichte seine Arbeit erst 1884 Jahre ohne Bezugnahme auf die Arbeit von Bunjakowski. Entsprechend dieser Entwicklung findet sich teilweise auch nur die Benennung als Cauchy-Ungleichung für den diskreten, endlichen Fall und als Bunjakowski-Ungleichung[2]. oder Schwarzsche Ungleichung[3] im Integral-Fall.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Vektorraum mit innerem Produkt lässt sich aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Dreiecksungleichung für die induzierte Norm

ableiten, und damit in weiterer Folge zeigen, dass eine so definierte Norm die Normaxiome erfüllt.

Eine weitere Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das innere Produkt eine stetige Funktion ist.

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass im Ausdruck

der Betrag des Bruches stets kleiner oder gleich eins ist, sodass also wohldefiniert ist und damit der Winkel auf beliebige Räume mit innerem Produkt verallgemeinert werden kann.

In der Physik wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bei der Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation verwendet.

Beweis der Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist einer der Vektoren der Nullvektor, so ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung trivialerweise erfüllt. In den folgenden Beweisen wird daher teils ohne besonderen Hinweis und vorausgesetzt.

Spezialfall reelles Standardskalarprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:

Definiert man für die Werte

 und 

so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung. Setzt man

und

sowie und so gilt

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun

Zusammengefasst erhält man also

Daraus ergibt sich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Allgemeines Skalarprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die oben angegebenen Beweise beweisen nur den Spezialfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für das Standardskalarprodukt im . Der Beweis für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt ist jedoch einfach.

Reeller Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter der Voraussetzung gilt . Für jedes gilt

Wählt man nun speziell so ergibt sich

also

Ziehen der Quadratwurzel ergibt nun genau die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Komplexer Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis im komplexen Fall verläuft ähnlich, allerdings ist zu beachten, dass das Skalarprodukt in diesem Fall keine Bilinearform, sondern eine Hermitesche Form ist. Der Beweis wird für die Variante linear im ersten und semilinear im zweiten Argument geführt; wird die umgekehrte Variante gewählt, so ist an den entsprechenden Stellen die komplex Konjugierte zu nehmen.

Ist , so ist die Aussage klar. Sei . Für jedes gilt

Hier führt nun die spezielle Wahl auf

also

Verallgemeinerung für positiv semidefinite, symmetrische Bilinearformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann den Beweis des Satzes so umformulieren, dass die positive Definitheit des Skalarprodukts nicht verwendet wird. Damit gilt die Aussage auch für jede positiv semidefinite, symmetrische Bilinearform (beziehungsweise hermitesche Sesquilinearform) .

Beweis für den reellen Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man wählt denselben Ansatz, wie im Beweis, der das Skalarprodukt verwendet, trifft hier aber die Wahl

Damit muss man nicht mehr fordern, dass nicht 0 ist. Das ergibt

Ähnlich wie im obigen Beweis folgert man

und die Behauptung ist gezeigt, wenn gegen 0 konvergiert.

Bedingungen für die Gleichheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch hier ist die Situation denkbar, dass aus der Ungleichung eine Gleichheit wird, zum Beispiel wenn (wie beim Skalarprodukt) linear abhängig sind. Allerdings sind auch Fälle denkbar, wo die Gleichheit eintritt, ohne dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt. Man betrachte etwa eine entartete Bilinearform . Dann gibt es ein , so dass für alle des Vektorraums ist. Sei nun aus dem Vektorraum beliebig. Man erhält dann

und

also

auch für den Fall, dass und linear unabhängig sind.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Cauchy, Augustin-Louis. Analyse algébrique, Seite 455f
  2. V.I. Bityutskov: Bunyakovskii inequality. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).
  3. Eric W. Weisstein: Schwarz's Inequality. In: MathWorld (englisch).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality, in: Ders.: Hermann Grassmann, Werk und Wirkung. Internationale Fachtagung anläßlich des 150. Jahrestages des ersten Erscheinens der "linearen Ausdehnungslehre", Universität Greifswald, 1995, S. 64-70