In der mathematischen Analysis gehört die Höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte[1].
Gegeben sei ein Maßraum
und messbare Funktionen

Für
und mit der Konvention
definiert man

und

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für
mit
, wobei
vereinbart ist, gilt

Man bezeichnet
als den zu
konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist
der Raum der
-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist
die Lp-Norm, so gilt für
immer
.
Wählt man als Maßraum
, also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen
, so lautet die Hölder-Ungleichung mit

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.
Wählt man als Maßraum die endliche Menge
, versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen
. Für
erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen
, wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen
.
für reelle oder komplexe Folgen
. Im Grenzfall
entspricht dies
.
Es seien
sowie
und
für alle
.
Dann folgt

und es gilt die Abschätzung

Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.
Falls
eine Familie von
Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und
nicht-negative reelle Zahlen mit
sind, so gilt

Es sei
für fast alle
.
Dann gilt für alle
die umgekehrte Höldersche Ungleichung

Für
(und umgekehrt) ist die Aussage der Hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass
gilt. Ohne Einschränkung seien
und
. Nach der youngschen Ungleichung gilt:

für alle
. Setze hierin speziell
ein. Integration liefert

was die Höldersche Ungleichung impliziert.
Der Beweis wird per vollständiger Induktion über
geführt. Der Fall
ist trivial. Sei also nun
und ohne Einschränkung sei
. Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:
Fall 1:
Dann ist
Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

Fall 2:
. Nach der (üblichen) Hölderschen Ungleichung für die Exponenten
gilt

also
. Nun ist
. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.
Die umgekehrte Höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) Hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten
und
wählt. Man erhält damit:

Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit
liefert die umgekehrte Höldersche Ungleichung.
Mit der Hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im
) leicht beweisen.
Seien
und
, dann folgt
und es gilt die Interpolationsungleichung

mit
beziehungsweise
für
.
Beweis: Ohne Einschränkung sei
. Dies erkennt man durch ausführliche Fallunterscheidung. Fixiere
mit
. Dies ist möglich, da
und
somit auf der Verbindungsstrecke zwischen
und
liegt. Beachte, dass
und
konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der Hölderschen Ungleichung folgt
.
Potenzieren der Ungleichung mit
und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.
Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

für
und
.
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- ↑ Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.