Hölder-Ungleichung

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In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte[1].

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Höldersche Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Maßraum und messbare Funktionen

Für und den Konventionen und definiert man

und

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für mit , wobei vereinbart ist, gilt

Man bezeichnet als den zu konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist der Raum der p-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist die Lp-Norm, so gilt für immer

.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schwarzsche Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man als Maßraum , also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen , so lautet die Hölder-Ungleichung mit

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man als Maßraum die endliche Menge , versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen . Für erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

Höldersche Ungleichung für Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen , wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

.

für reelle oder komplexe Folgen . Im Grenzfall entspricht dies

.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien sowie und für alle .

Dann folgt

und es gilt die Abschätzung

Umgekehrte höldersche Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei für fast alle .

Dann gilt für alle die umgekehrte höldersche Ungleichung

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis der hölderschen Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für (und umgekehrt) ist die Aussage der hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass gilt. Ohne Einschränkung seien und . Nach der youngschen Ungleichung gilt:

für alle . Setze hierin speziell ein. Integration liefert

was die höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über geführt. Der Fall ist trivial. Sei also nun und ohne Einschränkung sei . Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: Dann ist Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

Fall 2: . Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten gilt

also . Nun ist . Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten hölderschen Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die umgekehrte höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten und wählt. Man erhält damit:

Umformen dieser Ungleichung liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis der Minkowski-Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im ) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und , dann folgt und es gilt die Interpolationsungleichung

mit beziehungsweise für .

Beweis: Ohne Einschränkung sei . Fixiere mit . Beachte, dass und konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt

.

Potenzieren der Ungleichung mit und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

für und .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.