club-Menge

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Als club-Menge wird in der Mengenlehre eine Teilmenge einer Limesordinalzahl bezeichnet, die abgeschlossen und unbeschränkt (engl. closed und unbounded) ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Limesordinalzahl. Eine Teilmenge heißt

  • abgeschlossen, wenn für jede Folge aus gilt:
  • unbeschränkt, wenn für alle ein existiert mit .

heißt club-Menge, falls sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ist der Begriff der Abgeschlossenheit leer, weil es keine Limesordinalzahlen unter gibt; club-Mengen von sind also lediglich unbeschränkte, d. h. unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Fasst man und die Klasse der Ordinalzahlen mittels der Ordnungstopologie als topologische Räume auf, so ist das Bild jeder stetigen, monoton steigenden Funktion eine club-Menge.

Der club-Filter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Konfinalität der Limeskardinalzahl überabzählbar, , so ist der Schnitt zweier club-Mengen wieder eine club-Menge. Setzt man , so bildet also einen Filter, den club-Filter. Er hat unter anderem folgende Eigenschaften:

  • ist -vollständig: Ist und für , so gilt
  • Ist eine reguläre Kardinalzahl, so ist abgeschlossen gegenüber sogenannten diagonalen Schnitten: Ist eine Familie von club-Mengen aus , so ist

Das zu duale Ideal, definiert durch , wird als Ideal der dünnen Teilmengen bezeichnet.

Eine Menge heißt stationär, falls sie nicht dünn ist, also gilt. Eine Menge ist genau dann stationär, wenn ihr Schnitt mit jeder club-Menge nicht leer ist.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]