Ordnungstopologie

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Auf einer streng total geordneten Menge kann man in natürlicher Weise eine Topologie einführen, die mit der Ordnung verträglich ist. Diese Topologie wird Ordnungstopologie genannt. Einige topologische Begriffe wie diskret und dicht lassen sich so auf Ordnungen übertragen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man verwendet die Symbole und zur Bezeichnung von Elementen außerhalb einer streng totalgeordneten Menge , also , und setzt die Ordnung auf fort, indem für alle gelte: . Die offenen Mengen der Ordnungstopologie sind:

  1. die offenen Intervalle , dabei sind ,
  2. beliebige, auch unendliche Vereinigungen von diesen offenen Intervallen.

Andere, gleichwertige Formulierungen:

  • Die Ordnungstopologie auf ist die gröbste Topologie, in der die offenen Intervalle im Sinn der Topologie offen sind.
  • Die offenen Intervalle bilden eine Basis der Ordnungstopologie.

Manchmal enthält die Menge bereits unendliche Elemente, die mit und bezeichnet sind. Die zusätzlichen Elemente aus der obigen Definition müssen dann von den in bereits vorhandenen unterschieden werden! Die Einführung der zusätzlichen Elemente lässt sich im Prinzip – wegen der in Beweisen erforderlichen Fallunterscheidungen allerdings auf Kosten der Argumentationseleganz – vermeiden, indem man bei den offenen Intervallen zusätzlich selbst sowie Mengen der Form oder aufzählt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bei den reellen Zahlen mit ihrer gewöhnlichen Anordnung stimmt die Ordnungstopologie mit der gewohnten Topologie (der reellen Zahlen als metrischer Raum) überein.
  • Die Ordnungstopologie auf der Menge der ganzen Zahlen ist die diskrete Topologie.
  • Mengen von Ordinalzahlen werden – mit ihrer Ordnungstopologie versehen – in der Topologie oft als Gegenbeispiele verwendet.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Ordnungstopologie kann man einige Eigenschaften von Ordnungen topologisch beschreiben, ist hier immer eine streng totalgeordnete Menge:

  • Eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte Teilmenge enthält ihr Infimum und ihr Supremum, sofern sie in existieren.
  • Die Ordnung heißt diskret, wenn es ihre Ordnungstopologie ist. Ohne topologische Begriffe lässt sich eine diskrete Ordnung so charakterisieren:
  1. Jedes Element hat einen eindeutigen Vorgänger, es sei denn, es ist Minimum von .
  2. Jedes Element hat einen eindeutigen Nachfolger, es sei denn, es ist Maximum von .
Anschaulich sind die Elemente durch die diskrete Ordnung wie an Perlenschnüren aufgereiht, beachte aber das 6. Beispiel unten.

  • Eine Teilmenge von liegt dicht in im Sinne der Ordnungstheorie, wenn zwischen zwei Elementen aus stets ein Element aus mit liegt. Ist in sich dicht im Sinne der Ordnungstheorie, so liegt genau dann dicht in im Sinne der Ordnungstheorie, wenn dicht in bezüglich der Ordnungstopologie ist.
  • Eine diskret geordnete Menge ist (außer im Trivialfall einer einelementigen Menge) niemals dicht (in sich) geordnet und umgekehrt.
  • Jede in sich dichte, strenge Totalordnung lässt sich mit der Methode der Dedekindschen Schnitte in eine ordnungsvollständige Ordnung einbetten. Im Artikel Dedekindscher Schnitt wird dies am Beispiel der rationalen Zahlen ausgeführt. Diese Konstruktion funktioniert auch in großen Ordnungen, deren Ordnungstopologie sich nicht metrisieren lässt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die im Folgenden genannten Eigenschaften beziehen sich immer auf die in den Mengen übliche, natürliche Ordnung:

  1. Die natürlichen Zahlen sind diskret geordnet. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
  2. Die ganzen Zahlen sind diskret geordnet. Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger.
  3. Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig.
  4. Die rationalen Zahlen sind nicht ordnungsvollständig, aber dicht (in sich) geordnet.
  5. Die rationalen Zahlen bilden eine dichte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen.
  6. Die Menge der Stammbrüche ist diskret geordnet. Anschaulich besteht die Ordnung hier aus zwei Perlenschnüren: Die Ordnung der negativen Stammbrüche entspricht der Ordnung der natürlichen Zahlen, die Ordnung der positiven Stammbrüche deren Umkehrung. Von einer der Perlenschnüre lässt sich die andere jedoch nie durch fortgesetzte Vorgänger- oder Nachfolgerbildung erreichen.
  7. Fügt man zu aus dem vorigen Beispiel die Zahl 0 hinzu, dann ist die Ordnung nicht mehr diskret, denn 0 hat weder einen Vorgänger noch einen Nachfolger. Sie ist aber auch nicht dicht.
    Die Ordinalzahl .
  8. Die Ordinalzahl ist nicht diskret geordnet: Das Limeselement hat keinen Vorgänger, jede seiner Umgebungen enthält unendlich viele natürliche Zahlen. (Als Ordinalzahl wird die Menge der natürlichen Zahlen üblicherweise mit bezeichnet.)
  9. Die Ordnungsstruktur von und sind gleich und somit sind die Ordnungstopologien ebenfalls gleich. Die Topologie auf letzterer ist außerdem die von induzierte Teilraumtopologie, daher entspricht die analytische Konvergenz in der topologischen Konvergenz von in . Jede abzählbare Ordinalzahl kann ordnungstopologieerhaltend in eingebettet werden. Ein weiteres Beispiel dieser Art ist , das dieselbe Ordnungsstruktur wie in hat.

Andere Topologien, die mit der Ordnung zusammenhängen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf einer streng totalgeordneten Menge (wie den reellen Zahlen) werden manchmal auch die Halbgeraden

  1. oder

als Basis je einer Topologie, der Topologie der nach oben beschränkten (1.) bzw. der nach unten beschränkten Mengen (2.) zugrunde gelegt. Die beiden Topologien sind (für Mengen, die mehr als einen Punkt enthalten) voneinander verschieden und die Ordnungstopologie ist ihre kleinste gemeinsame Verfeinerung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]