Zählmaß (Maßtheorie)

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Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum definieren, wobei eine beliebige Menge und ihre Potenzmenge ist. Ist eine endliche Menge, so entsteht dabei ein endliches Maß. Es ist genau dann ein σ-endliches Maß, wenn abzählbar ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Zählmaß einer Menge ist wie folgt definiert:

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integral der Funktion auf dem Intervall bzgl. dem Zählmaß über

Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum , entspricht das Zählmaß der Abbildung

Hierbei bezeichnet die charakteristische Funktion der Menge .

Mit Hilfe des Zählmaßes auf lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung :

konvergiert absolut ist integrierbar bzgl. des Zählmaßes auf

In diesem Fall gilt

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]