Zählmaß (Maßtheorie)

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Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum (\Omega,\mathfrak P(\Omega)) definieren, wobei \Omega eine beliebige Menge und \mathfrak P(\Omega) ihre Potenzmenge ist. Ist \Omega eine endliche Menge, so entsteht dabei ein endliches Maß. Es ist genau dann ein σ-endliches Maß, wenn \Omega abzählbar ist.

Definition[Bearbeiten]

Das Zählmaß einer Menge A \subseteq \Omega ist wie folgt definiert:


\mu(A)=\begin{cases}
\vert A \vert & \text{, falls } A \text{ endlich ist,}\\
+\infty & \text{, falls } A \text{ unendlich ist.}
\end{cases}

Beispiele[Bearbeiten]

Integral der Funktion x\mapsto x^2 auf dem Intervall [-10,10] bzgl. dem Zählmaß über \N

Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum (\N,\mathfrak P(\N)), entspricht das Zählmaß der Abbildung

\mu\colon\mathfrak P(\N)\to [0, \infty] \text{, } A\mapsto \sum_{k\in\N} \chi_{A}(k).

Hierbei bezeichnet \chi_A die charakteristische Funktion der Menge A\subseteq\N.

Mit Hilfe des Zählmaßes auf \N lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung f\colon \N\to\R:

\sum_{k=1}^\infty f(k) konvergiert absolut \Longleftrightarrow f ist integrierbar bzgl. des Zählmaßes auf \mathfrak P(\mathbb N).

In diesem Fall gilt

\int_{\N} f \, \mathrm d\mu =  \sum_{k=1}^\infty f(k).

Literatur[Bearbeiten]