Dirichletscher Einheitensatz

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Der nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte dirichletsche Einheitensatz ist eines der ersten Ergebnisse der algebraischen Zahlentheorie. Der Satz beschreibt die Struktur der Einheitengruppe des Ganzheitsringes eines algebraischen Zahlkörpers.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein algebraischer Zahlkörper und sein Ganzheitsring. Dann ist die Einheitengruppe endlich erzeugt, und der Rang ihres freien Anteils ist gleich

dabei ist die Anzahl der Einbettungen und die Anzahl der Paare komplex-konjugierter Einbettungen (die keine reellen Einbettungen sind). Ist die Erweiterung galoissch, so ist oder gleich .

Der Torsionsanteil der Einheitengruppe ist die Gruppe der Einheitswurzeln in .

Beweisskizze in einem Spezialfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei (wir wählen also bereits eine reelle Einbettung); dann ist , und die Einheitengruppe

(Die Gleichung trägt den Namen pellsche Gleichung.)

In diesem Fall ist und , der dirichletsche Einheitensatz sagt also voraus, dass der Rang von gleich 1 ist.

Da beispielsweise eine Einheit ist, die keine Einheitswurzel ist, muss der Rang mindestens 1 sein. Wäre der Rang größer, so könnte keine diskrete Untergruppe von sein, und man weiß, dass eine Untergruppe von entweder diskret oder dicht ist. Es gäbe also eine Einheit, die "ungefähr" 1 ist. Nun sind aber und zwei Zahlen, deren Produkt ist, ist also die eine von ihnen ungefähr 1, so ist die andere ungefähr . Andererseits unterscheiden sie sich um die Zahl , die "wesentlich" größer als der Abstand zwischen und ist, falls ist. Ist aber , so ist offenbar , wir erhalten also nur die Einheitswurzeln .