Diskrete orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome bezüglich eines diskreten Maßes. Solche Polynome findet man unter anderem in der Stochastik und in der statistischen Physik, wo man mit diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu tun hat.
Beispiele sind die Meixner-Polynome, die Krawtschuk-Polynome, die diskreten Tschebyscheff-Polynome, die Hahn-Polynome und die Charlier-Polynome.
Sei
,
eine positive Folge, d. h.
,
eine Folge reeller Zahlen, welche den Träger bilden werden,
das Diracmaß, so dass alle Singletons
in einer σ-Algebra
enthalten sind.
Nun definieren wir ein diskretes Maß auf
![{\displaystyle \mu =\sum \limits _{n=0}^{S}a_{n}\delta _{s_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3931bd426694d8fcf8292f66852f6838e6f5aeb0)
mit endlichen Momenten (d. h.
für alle
).
Für die
lässt sich eine Gewichtsfunktion
durch
definieren.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir nun als Träger
für alle
und erhalten somit
.
Eine Familie von orthogonalen Polynome
heißt diskret, wenn sie orthogonal bezüglich eines diskreten Maßes
mit Gewichtsfunktion
sind, das heißt wenn
![{\displaystyle \sum \limits _{x=0}^{S}p_{n}(x)p_{m}(x)\omega (x)=\kappa _{n}\delta _{n,m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec1bef4b4d47148b5ebf3a566196d89d389b459)
erfüllt ist, wobei
das Kronecker-Delta bezeichnet.[1]
und ![{\displaystyle \quad \kappa _{n}={\frac {n!(1-c)^{-\beta }}{c^{n}(\beta )_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d3f1323471fea654b451f70b5077b3bec055b7)
- wobei die Orthogonalität nur für
und
gilt.
und ![{\displaystyle \quad \kappa _{n}={\frac {n!}{a^{n}}}e^{a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cd80c55f73983ef464f1661c8d1174a25b22d9)
Wir definieren die Funktion
durch
![{\displaystyle \omega (x+1)-\omega (x)=-u(x+1)\omega (x+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172f3cdc4a1eff64f03772b42decec4696f16d65)
Betrachtet man allgemeine orthogonale Polynome mit einer Gewichtsfunktion
und die durch
![{\displaystyle v(x)=\exp(-f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f463d57adfdd35f6ef6cb7c76beea1c669b53272)
definierte Funktion
, so entspricht
dem diskreten Pendant der Funktion
respektive
.
Es lässt sich beweisen, dass jedes diskrete orthogonale Polynom einer Differenzengleichung zweiter Ordnung genügt, wenn das Maß einen Träger über einer Halbgeraden mit äquidistanten Punkt besitzt (d. h. ein Gitter).[2]
Sei
eine Familie orthogonaler Polynome bezüglich eines diskreten Maßes
mit Träger
![{\displaystyle {\mathcal {T}}=\{s,s+1,s+2,\dots ,t\}\subset \mathbb {R} ,\quad s\in \mathbb {R} ,\;t\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec07a3f1eeda235c0a2a70c7fca458530c699487)
Wir nehmen an, dass
gerade vom Grad
ist und die Gewichtsfunktion
normalisiert ist, d. h. es gilt
und ![{\displaystyle \quad \sum \limits _{l=s}^{t}\omega (l)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7952b680a4cc8b464f8c31db2521cec2b93eea6)
Weiter nehmen wir an, dass auf
die Gewichtsfunktion
nicht konstant
ist,
aber für die Randpunkt gilt
und
.
Weiter notieren wir mit
den Differenzoperator
Die Funktion
haben wir im vorherigen Abschnitt definiert.
Sei
![{\displaystyle p_{n}=\gamma _{n}x^{n}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c19a7eca0bcb3ecf6dab49f9a34d3a6f86b9d59)
ein diskretes orthogonales Polynom, welches die vorherigen Annahmen erfüllt. Dann gilt
![{\displaystyle \Delta p_{n}(x)=A_{n}(x)p_{n-1}(x)-B_{n}(x)p_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf94b80cf38528b6d351c33e74deb8a0053d9bc)
wobei
und
wie folgt definiert sind
![{\displaystyle A_{n}(x)={\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}{\frac {p_{n}(t+1)p_{n}(t)}{(t-x)}}\omega (t)+{\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}\sum \limits _{l=s}^{t}p_{n}(l)p_{n}(l-1){\frac {u(x+1)-u(l)}{(x+1-l)}}\omega (l)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0168de2c33db5382af6dc472be3a2e842cb12da)
und
![{\displaystyle B_{n}(x)={\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}{\frac {p_{n}(t+1)p_{n-1}(t)}{(t-x)}}\omega (t)+{\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}\sum \limits _{l=s}^{t}p_{n}(l)p_{n-1}(l-1){\frac {u(x+1)-u(l)}{(x+1-l)}}\omega (l).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e638c21976d704030751e57214fd5935dc48ed)
- Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2.
- ↑ J. Arvesú, J. Coussement und Walter Van Assche: Some discrete multiple orthogonal polynomials. In: Journal of Computational and Applied Mathematics. Band 153, 2003, S. 19–45.
- ↑ Mourad Ismail, Inna Nikolova und Plamen Simeonov, Plamen: Difference Equations and Discriminants for Discrete Orthogonal Polynomials. In: The Ramanujan Journal. Band 8, 2005, S. 475–502, doi:10.1007/s11139-005-0276-z.